Hyperebene

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Als (lineare) Hyperebenen werden in der linearen Algebra diejenigen Unterräume eines Vektorraums bezeichnet, die von genau einem Basisvektor weniger aufgespannt werden als der Gesamtraum. Für einen endlichdimensionalen Vektorraum V der Dimension n bedeutet das: Genau die n-1-dimensionalen linearen Teilräume von V sind die linearen Hyperebenen des Raumes. In der analytischen Geometrie ist eine (affine bzw. projektive) Hyperebene ein affiner bzw.  projektiver Teilraum des Gesamtraums dessen Dimension genau um 1 kleiner ist als die des Gesamtraumes. Insofern verallgemeinert der Begriff „Hyperebene“ den Begriff einer zweidimensionalen Ebene im dreidimensionalen (speziell reellen) Anschauungsraum auf beliebigdimensionale Räume der Funktionalanalysis und endlichdimensionale Räume der Geometrie. Eine affine bzw.  projektive Hyperebene ist ein affiner bzw. projektiver Teilraum einer affinen bzw. projektiven Geometrie mit der Kodimension 1.

Einen weiter verallgemeinerten Hyperebenenbegriff findet man in der Matroidtheorie.

Definitionen[Bearbeiten]

Lineare Algebra und Funktionalanalysis[Bearbeiten]

Es sei V ein Vektorraum beliebiger Dimension über einem Körper K. Dann heißt ein echter Teilraum U < V, U\neq V lineare Hyperebene in V, wenn eine der folgenden, gleichwertigen Bedingungen erfüllt ist:

  1. Es existiert ein Vektor v_{\perp}=U^{\perp}, so dass sich jeder Vektor  v\in V eindeutig schreiben lässt als v=u+\lambda\cdot v_{\perp}, u\in U, \lambda \in K.
  2. Jedes Erzeugendensystem von U lässt sich mit einem beliebigen Vektor v\in V\setminus U zu einem Erzeugendensystem von V ergänzen.
  3. Es existiert eine lineare Abbildung f:V\rightarrow K (also ein lineares Funktional), so dass f^{-1}(0)=U ist.

Diese Aussagen bleiben auch dann noch äquivalent, wenn K ein Schiefkörper und V ein Linksvektorraum über K ist. Diese Verallgemeinerung ist für die nachfolgende Definition der analytischen Geometrie wichtig.

analytische Geometrie[Bearbeiten]

affin

Ist A ein desarguesscher, n-dimensionaler affiner Raum über einem Schiefkörper K und V\cong K^n der zugehörige K-Linksvektorraum der Translationen (Parallelverschiebungen) von A, dann ist H\subseteq A genau dann eine Hyperebene in A, wenn eine (lineare, n-1-dimensionale) Hyperebene U<V existiert, so dass für einen festen Punkt H_0\in H gilt: H=H_0+U.

projektiv

Ist P ein desarguesscher, n-dimensionaler projektiver Raum über einem Schiefkörper K und V\cong K^{n+1} der zugehörige koordinatisierende Linksvektorraum, dann ist H\subseteq A genau dann eine Hyperebene in A, wenn eine (lineare, n-dimensionale) Hyperebene U<V existiert, die genau H koordinatisiert.

Siehe für die Verallgemeinerung des affinen und projektiven Begriffes auf nichtdesarguessche Ebenen den Abschnitt #Geometrie (in endlichdimensionalen Räumen) in diesem Artikel.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Funktionalanalysis (in beliebigdimensionalen reellen Räumen)[Bearbeiten]

Ein wichtiger Zusammenhang besteht zwischen Hyperebenen topologischer Vektorräume und linearen Funktionalen.

  • Der Kern jedes linearen Funktionals, das nicht 0 ist, ist eine Hyperebene.
  • Zu jeder Hyperebene existiert ein lineares Funktional, so dass der Kern des Funktionals die Hyperebene ist.
  • Ein Funktional ist genau dann stetig, wenn der Kern abgeschlossen ist.
  • Eine Hyperebene ist entweder abgeschlossen oder liegt dicht im Vektorraum.

Geometrie (in endlichdimensionalen Räumen)[Bearbeiten]

  • Im eindimensionalen Raum sind einelementige Teilmengen Hyperebenen, also jeweils Mengen, die aus einem Punkt bestehen.
  • Im zweidimensionalen Raum sind die Geraden die Hyperebenen. Diese Aussage ist für eine nichtdesarguessche affine oder projektive Ebene die Definition für den Begriff Hyperebene, da sich der Dimensions- und Unterraumbegriff der linearen Algebra für desarguesche Räume nicht ohne Weiteres auf die Koordinatenbereiche dieser Ebenen verallgemeinern lässt.
  • Im dreidimensionalen Raum ist jede Ebene eine Hyperebene.

Anwendungen[Bearbeiten]

Klassische Geometrie[Bearbeiten]

Endliche Geometrie[Bearbeiten]

In der endlichen Geometrie haben unter den endlichen affinen oder projektiven Geometrien diejenigen besondere Eigenschaften, bei denen man - neben den gewöhnlichen „Punkten“ als Punktmenge - speziell die Hyperebenen des Raumes als Blockmenge wählt. → Siehe dazu Blockplan.

Literatur[Bearbeiten]

Reelle Geometrie und Funktionalanalysis
Lineare Algebra und analytische Geometrie
  •  Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band I und II. 2. durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig 1980, ISBN 3-528-13057-1.
  •  Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0 (Inhaltsverzeichnis, abgerufen am 14. Januar 2012).
  •  Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8.
Anwendungen in der Geometrie (Seiteneinteilung)
  •  Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
  •  Emanuel Sperner: Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie. In: Math. Ann.. 121, Teubner, 1949.