Spinor-Darstellung

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Die Spinor-Darstellung der Spin-Gruppe und die Halbspinor-Darstellungen der Spin-Gruppe dienen in der Physik zur Beschreibung des Spins eines Teilchens.

Herleitung der Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden bezeichnen wir mit die Clifford-Algebra des -Vektorraums mit der quadratischen Form .

Die Clifford-Algebra ist isomorph zu und hat insbesondere zwei -dimensionale Darstellungen. Die Clifford-Algebra wird per Definition erzeugt von mit den Relationen und . Andererseits hat als -Vektorraum die Basis

mit den Relationen und . Man hat also einen Isomorphismus

und insbesondere eine -dimensionale Darstellung von .

Durch

erhält man einen Isomorphismus

.

Für eine gerade Zahl folgt daraus durch vollständige Induktion

,

insbesondere erhält man eine Darstellung von auf einem -dimensionalen Vektorraum .

Für eine ungerade Zahl erhält man durch vollständige Induktion

,

insbesondere erhält man zwei Darstellungen von auf -dimensionalen Vektorräumen.

In jedem Fall hat man für oder einen komplexen Vektorraum

,

so dass

.

Die Spinordarstellung der Spin-Gruppe ist die Einschränkung der Darstellung auf .

Allgemeiner kann man für die zur quadratischen Form auf dem assoziierte Spin-Gruppe betrachten. Diese ist ebenfalls in enthalten und somit sind bzw. Darstellungen von . In der Physik werden die Elemente von als Dirac-Spinoren bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Spinor-Darstellungen für ungerade n und die Halbspinor-Darstellungen für gerade nicht durch 4 teilbare n sind treue Darstellungen.
  • Für alle hat das Bild in bzw. die Determinante .
  • Auf bzw. gibt es ein -invariantes hermitesches Skalarprodukt. Die Bilder der Spinor- und Halbspinor-Darstellungen liegen also in bzw. .

Halbspinor-Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ungerade ist die Spinor-Darstellung eine irreduzible Darstellung von . Dagegen ist für gerade die Spinor-Darstellung die direkte Summe zweier irreduzibler Darstellungen, die als Halbspinor-Darstellungen bezeichnet werden.

Man erhält diese Unterräume als Eigenräume der Wirkung von zu den Eigenwerten und . In der Physik werden die Elemente dieser beiden Unterräume als positive und negative Weyl-Spinoren bezeichnet.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]