Clifford-Algebra

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Die Clifford-Algebra (nach William Kingdon Clifford) ist eine Assoziative Algebra, welche die komplexen und hyperkomplexen Zahlensysteme erweitert. Sie findet in der Differentialgeometrie sowie in der Quantenphysik Anwendung. Sie dient der Definition der Spin-Gruppe und ihrer Darstellungen, der Konstruktion von Spinorfeldern / -bündeln, die wiederum zur Beschreibung von Elektronen und anderen Elementarteilchen wichtig sind, sowie zur Bestimmung von Invarianten auf Mannigfaltigkeiten.

Die Frage nach komplexen Einheiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorbetrachtung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt in der Mathematik Zahlensysteme (Divisionsalgebren mit Einselement) mit komplexen Einheiten, genauer die komplexen Zahlen, die Quaternionen und Oktaven. In diesen können jeweils 1, 3 oder 7 Elemente fixiert werden, welche mit der 1 zusammen den Zahlenraum als reellen Vektorraum aufspannen und welche (nicht nur) erfüllen. Manchmal reicht das nicht aus. Zu einer beliebigen Anzahl werden Strukturen gesucht, welche die reellen Zahlen und Elemente enthalten und in der ein Produkt definiert ist, welches die Bedingungen

erfüllt, wobei das Kroneckersymbol ist und . Das Verknüpfungssymbol lässt man gerne weg.

Die Elemente heißen die Erzeugenden oder Generatoren der Clifford-Algebra. Das Produkt aller Erzeugenden wird durch bezeichnet, . Das Quadrat von kann +1 oder -1 sein.

Diese Struktur ist, bis auf die genannten Beispiele, kein Zahlensystem in obigem Sinne, sondern kann nur als Algebra realisiert werden, in welcher die Erzeugende sind. Eine solche Algebra wird Clifford-Algebra genannt, nach William Kingdon Clifford, der sie im Jahr 1878 entdeckt hat. Sie wird mit oder bezeichnet, falls

und

und sonst keine algebraische Beziehung der Erzeugenden gilt.

Bis hierher haben wir formale Rechenregeln aufgestellt, wissen aber noch nichts über die Existenz, Eindeutigkeit und Struktur einer solchen Algebra. Dieses Problem ist sofort gelöst, wenn man die Clifford-Algebra als Teil einer reellen Matrixalgebra darstellen kann.

Allgemeinere Betrachtung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im mathematischen Teil werden die Rechenregeln durch eine universelle Eigenschaft ergänzt und die Clifford-Algebra aus einer Tensoralgebra konstruiert. Es sei vorerst nur angemerkt, dass die Erzeugenden einen reellen (Unter-)Vektorraum der Dimension n=p+q innerhalb der Algebra aufspannen. Summiert man die definierende Eigenschaft über die Koordinatendarstellung eines Vektors dieses Vektorraums, so ergibt sich eine koordinatenfreie (in physikalischer Sprechweise: kovariante) Darstellung der definierenden algebraischen Relation.

, wobei

eine quadratische Funktion auf ist, welche ein (Pseudo-)Skalarprodukt definiert:

und
.

Die Erzeugenden bilden dann eine Orthonormalbasis auf .

Ein solches Paar aus reellem Vektorraum und darauf definierter quadratischer Funktion ist der Ausgangspunkt für die mathematische Theorie der Clifford-Algebren.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die komplexen Zahlen können als einfachste Clifford-Algebra mit einer einzigen Erzeugenden verstanden werden. Der Vektorraum ist eindimensional von erzeugt, also ; die quadratische Form ist . Die Algebra ist als reeller Vektorraum zweidimensional mit und als Basiselementen; sie lässt sich identifizieren mit der Algebra der 2x2-Matrizen
.
  • Die Quaternionen ergeben sich aus der Clifford-Algebra . Die Erzeugenden haben ein nichttriviales Produkt , aus den definierenden Eigenschaften des Produkts ergibt sich, dass es mit dem Produkt der Quaternionen übereinstimmt. Der Vektorraum ist reell zweidimensional, die Algebra reell vierdimensional. Eine Matrixdarstellung ist die Teilalgebra der komplexen 2x2-Matrizen
,
durch Einsetzen der reellen 2x2-Matrizen der komplexen Zahlen a und b ergibt sich eine Teilalgebra der reellen 4x4-Matrizen.
  • , die Algebra der anormal-komplexen Zahlen, hat ein Erzeugendes mit Quadrat 1. Daher können Elemente der reell 2-dimensionalen Algebra in zwei Summanden aufgespaltet werden , von denen der erste unter Multiplikation mit sein Vorzeichen behält und der zweite sein Vorzeichen ändert. In der Multiplikation zweier Elemente multiplizieren sich diese Summanden separat, wie in der Multiplikation zweier Diagonalmatrizen. Die Algebra ist also isomorph zur direkten Summe zweier Kopien von , .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit wird im Folgenden der Körper der reellen Zahlen beziehungsweise der komplexen Zahlen bezeichnet. Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper und eine symmetrische Bilinearform auf beziehungsweise eine quadratische Form.

Die Clifford-Algebra von dem quadratischen Raum ist die Algebra über bestehend aus den Elementen aus zusammen mit der Verknüpfung

für . Diese Algebra wird mit bezeichnet.[1]

Alternative Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Clifford-Algebra ist ein aus mathematischer Sicht natürliches Konstrukt zu einem Vektorraum mit darauf definierter quadratischer Form, denn sie kann als initiales Objekt einer Kategorie charakterisiert werden.

Als initiales Objekt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte die Kategorie aller assoziativen -Algebren , in welche eingebettet ist, das heißt aller Paare mit linear, die zusätzlich noch die Eigenschaft

für alle aus

beziehungsweise die äquivalente Aussage

für alle , aus erfüllen. Die Morphismen dieser Kategorie sind Algebrenmorphismen, die die eingebetteten Kopien von V ineinander überführen, das heißt erfüllt nicht nur , sondern auch .

Ein initiales Objekt einer Kategorie ist dadurch ausgezeichnet, dass es zu jedem anderen Objekt der Kategorie genau einen Morphismus gibt. Wenn es mehrere initiale Objekte gibt, dann sind diese isomorph. Jedes initiale Objekt der hier betrachteten Kategorie, sofern überhaupt eins existiert, wird Clifford-Algebra genannt. Zu jedem weiteren Paar der Kategorie gibt es also einen eindeutig bestimmten Algebrenmorphismus mit .

Es sei im Folgenden mit seiner Einbettung identifiziert, das heißt, die Abbildung wird nicht mehr explizit erwähnt.

Konstruktion in der Tensoralgebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Tensoralgebra sei das Ideal definiert. Dann ist der Quotient eine Realisierung der Clifford-Algebra .[1]

Spezielle Clifford-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Falls ein n-dimensionaler Vektorraum mit Standardskalarprodukt ist, so wird die Clifford-Algebra auch mit bezeichnet. Die Erzeugenden sind dann die kanonischen Basisvektoren , die quadratische Form die Quadratsumme der Koordinaten.
  • Ist der Raum ein Minkowski-Raum der Signatur mit Dimension , das heißt die quadratische Form ist gegeben durch
so wird die Clifford-Algebra auch mit bezeichnet.
  • Zu jeder reellen Clifford-Algebra kann auch die komplexifizierte Algebra definiert werden, hier sind alle nicht ausgearteten Bilinearformen zueinander isomorph.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graduierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Abbildung

erfüllt ebenfalls die definierende Identität , somit gibt es wegen der universellen Eigenschaft einen Algebrenisomorphismus mit für alle und . Damit zerfällt die Clifford-Algebra in einen geraden Teil

und einen ungeraden Teil

Diese Zerlegung erzeugt eine Graduierung der Algebra, Produkte gerade-gerade und ungerade-ungerade ergeben gerade Elemente, Produkte gerade-ungerade ergeben ungerade Elemente. So sind Produkte mit einer geraden Anzahl von Faktoren aus V gerade, Produkte mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren aus V ungerade.

ist eine Unteralgebra der Clifford-Algebra und wird auch als zweite Clifford-Algebra bezeichnet, ist ein lediglich ein Modul bezüglich .

Filtrierte Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Clifford-Algebra als Quotient aus der Tensoralgebra aufgefasst werden kann und die Tensoralgebra eine natürliche Filtrierung besitzt, kann auch für die Clifford-Algebra eine Filtrierung erklärt werden. Die Abbildung ist die natürliche Projektion von der Tensoralgebra in den Quotientenraum und die Filtrierung der Tensoralgebra. Setzt man so wird die Clifford-Algebra ebenfalls zu einer filtrierten Algebra.[2]

Beziehung zur Graßmann-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Graßmann-Algebra eines reellen Vektorraumes ist die Clifford-Algebra mit der trivialen quadratischen Form . Innerhalb einer beliebigen Clifford-Algebra kann die Graßmann-Algebra konstruiert werden, indem das Keilprodukt als – und analog als alternierende Summe bei mehr als zwei Faktoren – definiert wird.

Es kann umgekehrt jede Clifford-Algebra innerhalb der Graßmann-Algebra konstruiert werden, indem in dieser ein neues Produkt definiert wird als

.

Die Dimension der Algebra bleibt dabei erhalten, sie ist , wobei .

Diese Beziehung ist unter anderem für die Quantisierung supersymmetrischer Feldtheorien wichtig.

Beziehung zur orthogonalen Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Vektorraum mit nicht ausgearteter symmetrischer Bilinearform und . In der Clifford-Algebra können dann Spiegelungen in dargestellt werden. Dazu wird eine elementare Folgerung aus der Struktur des Produkts benutzt:

Ist ein Einheitsvektor, , so ist die Abbildung , die Spiegelung an der zu senkrechten Hyperebene. Jede Spiegelung ist eine orthogonale Abbildung, somit ist die von den Spiegelungen erzeugte Gruppe eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe.

Die Pin-Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umgekehrt lässt sich jede orthogonale Abbildung in ein Produkt aus Spiegelungen zerlegen, siehe Householdertransformation beziehungsweise QR-Zerlegung. Die Zerlegung ist nicht eindeutig, aber die Clifford-Produkte der Einheitsvektoren der Spiegelmatrizen unterscheiden sich höchstens im Vorzeichen.

Zunächst wird die Pin-Gruppe als Menge aller Produkte von Einheitsvektoren definiert:

Diese Menge ist ein Untermonoid des multiplikativen Monoids der Clifford-Algebra und wird zur Gruppe durch die Existenz eines Inversen: . Es gibt Produkte, deren Faktoren unterschiedlich sind, die aber dasselbe Element der Pin-Gruppe bezeichnen, etwa gilt für orthogonale Einheitsvektoren und mit und jedes Paar

.

Jedoch gilt, dass jedem Element aus genau eine orthogonale Abbildung

entspricht, deren Unabhängigkeit von der gewählten Faktorisierung aus der Eindeutigkeit des Inversen folgt. Weiter ist bekannt, dass surjektiv der Ordnung 2 ist, d. h. eine zweifache Überlagerung. Die Urbilder der gleichen orthogonalen Abbildung unterscheiden sich nur um das Vorzeichen.

Die Spin-Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Physikalisch und geometrisch bedeutsam ist aber eine Untergruppe der Pin-Gruppe, die Spin-Gruppe

der Produkte mit gerader Anzahl von Faktoren (aus der spielerischen Neudeutung der Spin-Gruppe als „spezielle Pin-Gruppe“ ergab sich der Begriff „Pin“-Gruppe). Von dieser ist bekannt, dass sie eine zweifache Überlagerung der speziellen orthogonalen Gruppe ist, sowie dass sie, sofern die Dimension des zugrundeliegenden Vektorraumes größer als 2 ist, einfach zusammenhängend, das heißt universelle Überlagerung ist. Da die Matrixgruppe eine Darstellung vom Gewicht 2 von ist, sagt man in der Physik auch, dass Darstellungen der Spin-Gruppe vom Gewicht 1 Spin--Darstellungen der orthogonalen Gruppe seien.

Die komplexe Clifford-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der reelle Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt . Dann ist die komplexe Clifford-Algebra definiert als die Komplexifizierung von , das heißt, es gilt

Diese Definition ist unabhängig vom komplexifizierten Skalarprodukt, denn auf gibt es genau eine eindeutig bestimmte, nicht ausgeartete quadratische Form.

Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Darstellung einer Algebra ist eine Einbettung dieser in die Algebra der Endomorphismen eines Vektorraums, also (nach Basiswahl) in eine Matrixalgebra. Dabei können die Matrizen reelle, komplexe oder quaternionische Einträge haben.

Es lässt sich zeigen, dass jede Clifford-Algebra zu einer Matrixalgebra oder der direkten Summe zweier Matrix-Algebren über den reellen Zahlen , den komplexen Zahlen oder den Quaternionen isomorph ist.

Reelle Clifford-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zuordnung und Dimension der reellen Clifford-Algebren tabelliert sich wie folgt:

(pq) mod 8 ω2 Cl(p,q,ℝ)
(p+q = 2m)
(pq) mod 8 ω2 Cl(p,q,ℝ)
(p+q = 2m + 1)
0 + M(2m, ℝ) 1 M(2m, ℂ)
2 M(2m−1, ℍ) 3 + M(2m−1, ℍ) ⊕ M(2m−1, ℍ)
4 + M(2m−1, ℍ) 5 M(2m, ℂ)
6 M(2m, ℝ) 7 + M(2m, ℝ) ⊕ M(2m, ℝ)

Dabei gelten die folgenden allgemeinen Isomorphien:

Komplexe Clifford-Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Darstellung der komplexen Clifford-Algebra ist einfacher als die der reellen. Es gilt nämlich

In diesem Zusammenhang gilt die Isomorphie

die auch essentiell für den Beweis der Darstellung ist. Ist gerade, so nennt man mit der natürlichen Graduierung in diesem Zusammenhang Spinor-Modul.

Niedrigdimensionale Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dimension von als reeller Vektorraum ist 2p+q. Damit lässt sich die Clifford-Algebra durch reelle Matrizen dieser Dimension darstellen, welche die Multiplikation in der Algebra beschreiben. Diese Darstellung ist nicht minimal, d.h. es gibt Matrizen geringerer Dimension, welche das gleiche leisten, siehe [1] und die Beispiele unten.

hat den Generator mit . Es gibt also eine komplex eindimensionale Darstellung, welche auf die imaginäre Einheit i abbildet, und die entsprechende reell zweidimensionale.
Der Generator ist mit . Jedes Element der Algebra kann in zwei Summanden und aufgespaltet werden. Da gilt, erhält sich diese Aufspaltung unter Produktbildung. Die Clifford-Algebra ist also isomorph zum mit komponentenweisem Produkt, wobei dem Element entspricht und das Einselement dem Element . Diese direkte Summe zweier Algebren kann auch als Algebra der 2x2-Diagonalmatrizen realisiert werden.
hat die Generatoren und und deren Produkt k=ij mit den Relationen
.
Man rechnet nach, dass dies zur Algebra der Quaternionen isomorph ist.
hat die Generatoren und , , und . Man überzeugt sich, dass die Generatoren folgenden reellen 2x2-Matrizen entsprechen:
somit alle reellen Matrizen erreicht werden.
hat die Generatoren und mit Quadrat 1, deren Produkt hat das Quadrat , somit ist diese Algebra isomorph zur vorhergehenden.

Quantenphysikalisch bedeutsame Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Cl(3,0)≅Cl(2,0)⊗Cl(0,1)≅ (Biquaternionen)
hat die Generatoren , und mit den Relationen
, , , .
Sowohl reelle als auch komplexe Darstellungen zerfallen als V=V+⊕V-, wobei V+ Nullraum des Projektors (1-ω)/2, V- Nullraum des Projektors (1+ω)/2 mit ω:=e1e2e3 ist. Es gilt ekω=ωek, so dass beide Untervektorräume voneinander unabhängige Unterdarstellungen erzeugen.
Eine rein negative Darstellung, d.h. mit V+={0}, ist direkt zur Quaternionen-Algebra isomorph,
e1↦i, e2↦j und e3↦k,
eine rein positive ist konjugiert isomporph,
e1↦-i, e2↦-j und e3↦-k.
In beiden Fällen gilt das zu gesagte.
  • Cl(2,1)≅Cl(1,1)⊗Cl(1,0)≅M2(ℂ)
  • Cl(1,2)≅Cl(1,1)⊗Cl(0,1)≅M2(ℝ)⊕M2(ℝ)
  • Cl(0,3)≅Cl(0,2)⊗Cl(1,0)≅
  • Cl(4,0)≅Cl(2,0)⊗Cl(0,2)≅M2(ℍ)
Der gerade Teil dieser Algebra, der die Spin4-Gruppe enthält, ist zu isomorph. Er wird erzeugt von , es ist z. B. .
  • Cl(3,1)≅Cl(1,1)⊗Cl(2,0)≅M2(ℍ)
Cl0(3,1)≅Cl(3,0)≅ oder
Cl0(3,1)≅Cl(2,1)≅M2(ℂ)
  • Cl(1,3)≅Cl(1,1)⊗Cl(0,2)≅M4(ℝ)
Cl0(1,3)≅Cl(0,3)≅ oder
Cl0(1,3)≅Cl(1,2)≅M2(ℝ)⊕M2(ℝ)

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 298). Springer, Berlin u. a. 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 100.
  2. H. B. Lawson, M.-L. Michelsohn: Spin Geometry. 1989, S. 9–10.