Die Spinor-Darstellung der Spin-Gruppe
und die Halbspinor-Darstellungen der Spin-Gruppe
dienen in der Physik zur Beschreibung des Spins eines Teilchens.
Im Folgenden bezeichnen wir mit
die Clifford-Algebra des
-Vektorraums
mit der quadratischen Form
.
Die Clifford-Algebra
ist isomorph zu
und hat insbesondere zwei
-dimensionale Darstellungen.
Die Clifford-Algebra
wird per Definition erzeugt von
mit den Relationen
und
. Andererseits hat
als
-Vektorraum die Basis
![{\displaystyle 1=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right),\ g_{1}=\left({\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}}\right),\ g_{2}=\left({\begin{array}{cc}0&i\\i&0\end{array}}\right),\ g_{1}g_{2}=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe228252acad3d9573993ed2f92f67d723c00dac)
mit den Relationen
und
. Man hat also einen Isomorphismus
![{\displaystyle \mathbb {C} l_{2}\cong Mat(2,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598479c7ac96024c08f9eb5ca2e1cabf82bc2cdb)
und insbesondere eine
-dimensionale Darstellung von
.
Durch
![{\displaystyle e_{1}\to 1\otimes g_{1},\ e_{2}\to 1\otimes g_{2},\ e_{j}\to (ie_{j-2}\otimes g_{1}g_{2}){\mbox{ für }}3\leq j\leq n+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caeab0b65aaf794b5465cf28fc642726925a9caf)
erhält man einen Isomorphismus
.
Für eine gerade Zahl
folgt daraus durch vollständige Induktion
,
insbesondere erhält man eine Darstellung von
auf einem
-dimensionalen Vektorraum
.
Für eine ungerade Zahl
erhält man durch vollständige Induktion
,
insbesondere erhält man zwei Darstellungen von
auf
-dimensionalen Vektorräumen.
In jedem Fall hat man für
oder
einen komplexen Vektorraum
,
so dass
.
Die Spinordarstellung der Spin-Gruppe
ist die Einschränkung der Darstellung
auf
.
Allgemeiner kann man für
die zur quadratischen Form
auf dem
assoziierte Spin-Gruppe
betrachten. Diese ist ebenfalls in
enthalten und somit sind
bzw.
Darstellungen von
. In der Physik werden die Elemente von
als Dirac-Spinoren bezeichnet.
- Die Spinor-Darstellungen für ungerade n und die Halbspinor-Darstellungen für gerade nicht durch 4 teilbare n sind treue Darstellungen.
- Für alle
hat das Bild in
bzw.
die Determinante
.
- Auf
bzw.
gibt es ein
-invariantes hermitesches Skalarprodukt. Die Bilder der Spinor- und Halbspinor-Darstellungen liegen also in
bzw.
.
Für
ungerade ist die Spinor-Darstellung
eine irreduzible Darstellung von
. Dagegen ist für
gerade die Spinor-Darstellung die direkte Summe
zweier irreduzibler Darstellungen, die als Halbspinor-Darstellungen bezeichnet werden.
Man erhält diese Unterräume als Eigenräume der Wirkung von
zu den Eigenwerten
und
. In der Physik werden die Elemente dieser beiden Unterräume als positive und negative Weyl-Spinoren bezeichnet.