Streuamplitude

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Streuamplitude f ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition[Bearbeiten]

Die Streuamplitude f(\mathbf{p'}\leftarrow\mathbf{p}) ist über den S-Operator S definiert:

\langle\mathbf{p'}|S|\mathbf{p}\rangle = \delta^{(3)}\!(\mathbf{p'} - \mathbf{p}) + \tfrac{i}{2\pi m} \; \delta(E_{\mathbf{p'}} - E_{\mathbf{p}}) \cdot f(\mathbf{p'} \leftarrow \mathbf{p}) \; ,

mit

Die Streuamplitude ist nur definiert für |\mathbf{p'}| = |\mathbf{p}| bzw. E_{\mathbf{p'}} = E_{\mathbf{p}} \Leftrightarrow E_{\mathbf{p'}} - E_{\mathbf{p}} = 0, weil ansonsten \delta(E_{\mathbf{p'}} - E_{\mathbf{p}}) = 0 .

Alternativdefinition[Bearbeiten]

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels \vartheta zwischen \mathbf{p} und \mathbf{p'} geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

\begin{align}
\psi_{out}&=\int d^3\!p' \; \langle\mathbf{p'}|S|\mathbf{p}\rangle \; \psi_{in}(\mathbf{p})\\
          &=\psi_{in}(\mathbf{p}) + \tfrac{i}{2\pi m} \int d^3\!p' \; \delta(E_{\mathbf{p'}} - E_{\mathbf{p}}) \; f(\mathbf{p'} \leftarrow \mathbf{p}) \; \psi_{in}(\mathbf{p})\\
          &=\psi_{in}(\mathbf{p}) + \tfrac{i}{2\pi m} \; f(E_{\mathbf{p}}, \vartheta) \int d^3\!p' \; \delta(E_{\mathbf{p'}} - E_{\mathbf{p}}) \; \psi_{in}(\mathbf{p})
\end{align}

Wenn für die eingehende Welle \psi_{in} eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

\psi_{out} = e^{ipz} + f(p, \vartheta) \; \frac{e^{ipr}}{r}

Wirkungsquerschnitt[Bearbeiten]

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\vartheta)|^2 \; .

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:

\sigma_\mathrm{tot} = \int_{4\pi} \frac{d \sigma}{d \Omega} \cdot d \Omega= \frac{4\pi}{k}~\mathrm{Im} \, f(0)

mit dem Imaginärteil \mathrm{Im} \, f(0) der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

Partialwellenentwicklung[Bearbeiten]

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

f(\vartheta) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \; f_\ell(k) \; P_\ell(\cos \vartheta)

wobei

  • f_\ell(k) die partielle Streuamplitude
  • P_\ell(\cos \vartheta) das Legendre-Polynom
  • \ell der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element S_\ell = e^{2i \delta_\ell} und die Streuphase \delta_\ell ausgedrückt werden:

f_\ell = \frac{S_\ell-1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_\ell}-1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} = \frac{1}{k\cot\delta_\ell-ik} \;.

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude f_\ell, das S-matrix Element S_\ell=e^{2i\delta_\ell} und die Streuphase \delta_\ell implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses k sind.

Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

\sigma_\text{total} = \frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^\infty(2l + 1)\sin^2 \delta_l \; .

Die Streulänge a_\ell kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

f_\ell(p) \xrightarrow[p \rightarrow 0]{}-a_\ell \cdot p^{2\ell}

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge a_0 der s-Wellen (\ell = 0) als Streulänge bezeichnet.

Literatur[Bearbeiten]

  • John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.