Impulsoperator

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Der Impulsoperator ist in der Quantenmechanik der Operator zur Impulsmessung von Teilchen. In der Ortsdarstellung ist der Impulsoperator in einer Dimension gegeben durch:

Dabei bezeichnet

Mit dem Nabla-Operator erhält man in drei Dimensionen den Vektor:

Der physikalische Zustand eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf dargestellt. Speziell ist der Impuls-Operator die Zusammenfassung der drei Observablen , so dass

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Komponente des Impulses des Teilchens im Zustand ist.

Definition und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

in Analogie zu den Poisson-Klammern der Hamiltonschen Formulierung
Der Faktor ist aus Dimensionsgründen erforderlich, denn Ort mal Impuls hat die Dimension eines Drehimpulses oder einer Wirkung. Die imaginäre Einheit muss auftreten, da und selbstadjungiert sind und ihr Kommutator daher bei Adjunktion sein Vorzeichen wechselt.
  • Aus den kanonischen Vertauschungsrelationen folgt, dass die drei Komponenten des Impulses gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum besteht. Die möglichen Impulse sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
  • Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums jeder Zustand ist durch eine Ortswellenfunktion gegeben. Die Ortsoperatoren sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion :
Der mathematische Satz von Stone und von Neumann besagt dann, dass bei geeigneter Wahl von Phasen der Impulsoperator, der in den kanonischen Vertauschungsrelationen auftritt, auf Ortswellenfunktionen als Differentialoperator wirkt:
Sein Erwartungswert ist:
  • In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf quadratintegrierbare Impulswellenfunktionen :
und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator:
Dabei sind frei wählbare Längen (größer Null) und die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren genügen den kanonischen Vertauschungsrelationen:

Warum ist der Impulsoperator in Ortsdarstellung ein Differentialoperator?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Noether-Theorem gehört zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße und umgekehrt. Beispielsweise ist der Impuls genau dann erhalten, wenn die Wirkung translationsinvariant ist. In der Hamiltonschen Formulierung erzeugt die Erhaltungsgröße die Symmetrietransformation im Phasenraum durch ihre Poisson-Klammer, der Impuls erzeugt Verschiebungen.

Auf eine Wellenfunktion angewendet, ergibt jede Verschiebung um die verschobene Funktion , die an jeder Stelle den Wert hat, den am Urbild hatte,

(also: über Taylorreihe zu einer formalen Exponentialfunktion).

Der infinitesimale Erzeuger dieser einparametrigen Schar von Verschiebungen definiert also bis auf einen Faktor den Impuls, das heißt, der Impuls erfüllt definitionsgemäß

Dabei tritt der Faktor aus Dimensionsgründen auf, denn das Produkt von Impuls und Ort hat die Dimension eines Drehimpulses oder einer Wirkung. Die imaginäre Einheit ist erforderlich, da ein unitärer Operator ist und der Impuls selbstadjungiert sein soll. Leitet man die Gleichung

nach bei ab, so ergibt sich der Impulsoperator als Ableitung nach dem Ort,

Dass der Impulsoperator im Ortsraum diese Form annimmt, lässt sich auch ohne die Kenntnis des zugehörigen unitären Operators wie folgt aus dem Noether-Theorem ablesen: Man rekonstruiert zunächst aus der Schrödingergleichung die zugehörige Lagrange-Dichte und bestimmt dann explizit den bei einer infinitesimalen Verschiebung der Wellenfunktion erhaltenen Erwartungswert.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]