Impuls

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Dieser Artikel beschreibt die physikalische Größe Impuls. Für weitere Bedeutungen siehe Impuls (Begriffsklärung).
Physikalische Größe
Name Impuls
Formelzeichen der Größe \vec p
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI N·s
kg·m·s−1
M·L·T−1

Der Impuls (auch Bewegungsgröße oder Bewegungsmenge) ist eine grundlegende physikalische Größe, die den mechanischen Bewegungszustand eines physikalischen Objekts charakterisiert, das sich als Ganzes in fortschreitender Bewegung befindet.

Das Formelzeichen des Impuls ist meist p (von lat. pellere). Die Einheit ist im Internationalen Einheitensystem kg·m·s−1 = N·s.

Der Impuls ist eine vektorielle Größe und hat damit eine Richtung und einen Betrag. Die Richtung ist immer parallel zur Geschwindigkeit des Objekts. Im Rahmen der klassischen Mechanik ist für Körper mit einer Masse m und der Geschwindigkeit \vec v der Impuls durch \vec p = m\cdot\vec v gegeben. Nach der relativistischen Mechanik haben auch masselose Objekte wie elektromagnetische Felder oder Photonen einen Impuls.

Der Impuls eines Objekts charakterisiert ausschließlich dessen fortschreitende Bewegung (Translation). Ein sich drehendes Objekt hat zusätzlich einen Drehimpuls.

Der Impuls hängt wie die Geschwindigkeit von der Wahl des Bezugssystems ab. In Bezug auf ein fest gewähltes Inertialsystem ist der Impuls eine Erhaltungsgröße. D. h., ein Objekt, auf das von außen keine Kräfte wirken, behält unabhängig von etwaigen inneren Vorgängen seinen Impuls nach Betrag und Richtung bei. Wirken zwei Objekte aufeinander ein, z. B. bei einem Stoßvorgang, ändern sich ihre beiden Impulse in entgegengesetzter Weise so, dass ihre vektorielle Summe erhalten bleibt. Die Größe, um die sich für eins der Objekte der Impuls ändert, wird als Impulsübertrag bezeichnet. Im Rahmen der Klassischen Mechanik ist der Impulsübertrag unabhängig von der Wahl des Inertialsystems.

Im Englischen wird der Impuls momentum genannt, während impulse den Impulsübertrag (Kraftstoß) meint.

Definition, Zusammenhänge mit Masse und Energie[Bearbeiten]

Klassische Mechanik[Bearbeiten]

In der newtonschen Mechanik sind der Impuls \vec{p} und die Geschwindigkeit \vec{v}\, über die Masse m des Körpers verknüpft:

\vec p = m  \cdot \vec v\,

Da die Masse eine skalare Größe ist, sind Impuls und Geschwindigkeit Vektoren mit gleicher Richtung. Ihre Beträge lassen sich nicht miteinander vergleichen, denn sie haben verschiedene physikalische Dimension.

Für die Kinetische Energie gilt:

E_{\text{kinetisch}} = \frac{ m \cdot \vec v^{\,2} }{2} = \frac{\vec p \ \cdot \vec v }{2} = \frac{\vec p^{\,2}}{2\, m}\, .

Um die Geschwindigkeit eines Körpers (nach Richtung und/oder Betrag) zu ändern, muss sein Impuls geändert werden. Der übertragene Impuls dividiert durch die dafür benötigte Zeit ist die Kraft \vec{F}:

\frac{\mathrm d \vec{p}}{\mathrm d t} = \vec{F}\,

Spezielle Relativitätstheorie[Bearbeiten]

Nach der Relativitätstheorie ist der Impuls eines mit der Geschwindigkeit v bewegten Körpers mit Masse m>0 durch

\vec p = \frac{m \cdot \vec v}{\sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}.

gegeben. Darin ist c die Lichtgeschwindigkeit und stets v<c. Der Impuls hängt von der Geschwindigkeit nichtlinear ab, er steigt bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit über alle Grenzen.

Allgemeingültig ist die Energie-Impuls-Beziehung

E^2 -  p^2\cdot c^2=m^2\cdot c^4\,.

Für Objekte mit Masse folgt:

E = \frac{m \cdot c^2}{\sqrt{1-{v^2 \over c^2}}}

Für v=0 folgt p=0 und E=m\,c^2 (Ruheenergie).

Objekte ohne Masse bewegen sich stets mit Lichtgeschwindigkeit. Für sie folgt aus der Energie-Impuls-Beziehung:

E = p\,c.

Elektromagnetisches Feld[Bearbeiten]

Ein elektromagnetisches Feld mit elektrischer Feldstärke \vec E und magnetischer Feldstärke \vec H hat die Energiedichte

u= \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2+\frac{1}{2}\mu_0 H^2 .

Dazu gehören die Energiestromdichte (Poynting-Vektor)

\vec{S} =\vec{E}\times\vec{H}\,

und die Impulsdichte

\qquad \vec{g} =\frac{1}{c^2}\vec{E}\times\vec{H}\,.

Über ein bestimmtes Volumen integriert ergeben diese drei Ausdrücke die Energie E , den Energiestrom und den Impuls p, die mit dem gesamten in diesem Volumen befindlichen Feld verbunden sind. Für fortschreitende ebene Wellen ergibt sich wieder E = p\,c.

Impulserhaltung[Bearbeiten]

Anstoß beim Billard: Der Impuls der weißen Kugel verteilt sich auf alle Kugeln.
Hauptartikel: Impulserhaltungssatz

In einem Inertialsystem ist der Impuls eine Erhaltungsgröße. In einem physikalischen System, auf das keine äußeren Kräfte wirken, (in diesem Zusammenhang auch als abgeschlossenes System bezeichnet), bleibt die Summe aller Impulse der zum System gehörenden Bestandteile konstant.

Der anfängliche Gesamtimpuls ist dann also auch gleich der Vektorsumme der zu irgendeinem späteren Zeitpunkt vorhandenen Einzelimpulse. Stöße und andere Vorgänge innerhalb des Systems, bei denen sich die Geschwindigkeiten der Bestandteile ändern, enden stets so, dass dieses Prinzip nicht verletzt wird (siehe Kinematik (Teilchenprozesse)).

Die Impulserhaltung gilt auch beim unelastischen Stoß. Dabei geht zwar kinetische Energie durch plastische Verformung oder andere Prozesse verloren, aber der Impulserhaltungssatz ist vom Energieerhaltungssatz unabhängig und gilt sowohl bei elastischen als auch bei unelastischen Stößen.

Kraftstoß[Bearbeiten]

Impulsänderung und Kraft-Zeit-Fläche

Aus der Kraft auf einen Körper und deren Einwirkungsdauer ergibt sich eine Impulsänderung, die als Kraftstoß bezeichnet wird. Dabei spielen sowohl der Betrag als auch die Richtung der Kraft eine Rolle. Der Kraftstoß wird oft mit dem Formelzeichen \vec I bezeichnet, seine SI-Einheit ist 1 N · s.

Ist die Kraft \vec F im Zeitintervall \Delta t_{1,2}:=t_2-t_1 (mit t_1<t_2) konstant, kann der Kraftstoß mittels folgender Gleichung berechnet werden:

\vec I(t_1,t_2) = \Delta \vec p = \vec F \cdot \Delta t_{1,2}.

Ist \vec F dagegen nicht konstant aber dennoch ohne Vorzeichenwechsel (in jeder einzelnen Kraftkomponente), kann man unter Ausnutzung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung mit einer mittleren Kraft rechnen.

Im allgemeinsten Fall ist \vec F zeitabhängig und der Kraftstoß ist durch Integration definiert:

\vec I(t_1,t_2) = \Delta \vec p(t_1,t_2) =  \int_{t_1}^{t_2} \vec F(t) \cdot \mathrm{d}t.

Impuls im Lagrange- und Hamilton-Formalismus[Bearbeiten]

Im Lagrange- und Hamilton-Formalismus wird der generalisierte Impuls eingeführt; die drei Komponenten des Impulsvektors zählen zum generalisierten Impuls; aber auch beispielsweise der Drehimpuls.

Im Hamilton-Formalismus und in der Quantenmechanik ist der Impuls die zum Ort kanonisch konjugierte Variable. Der (generalisierte) Impuls wird in diesem Zusammenhang auch als kanonischer Impuls bezeichnet. Die möglichen Paare (q,p) von generalisierten Ortskoordinaten q und kanonischen Impulsen p eines physikalischen Systems bilden in der hamiltonschen Mechanik den Phasenraum.

In Magnetfeldern enthält der kanonische Impuls eines geladenen Teilchens einen zusätzlichen Term, der mit dem Vektorpotential des B-Felds in Zusammenhang steht (siehe Generalisierter Impuls).

Impuls in strömenden Medien[Bearbeiten]

Bei kontinuierlich verteilter Masse, wie beispielsweise in der Strömungsmechanik, enthält ein kleines Gebiet um den Punkt \vec{x} die Masse \rho(t,\vec{x})\,\mathrm d^3 x\,. Dabei ist \mathrm d^3 x das Volumen des Gebietes. \rho(t,\vec{x}) ist die Massendichte und \vec{x} =(x^1,x^2,x^3) der Ortsvektor (Komponenten nummeriert). Sie kann sich mit der Zeit t ändern.

Wenn diese Masse sich mit der Geschwindigkeit \vec{v}(t,\vec{x}) bewegt, hat sie den Impuls \rho(t,\vec{x})\,\vec{v}(t,\vec{x})\,\mathrm d^3 x. Dividiert durch das Volumen ergibt sich die Impulsdichte als Massendichte mal Geschwindigkeit: \rho\, \vec{v}\,.

Wegen der Impulserhaltung gilt für die Impulsdichte an einem festen Ort die Kontinuitätsgleichung,

 \frac{ \partial (\rho\, \vec{v}) }{\partial t} = \vec{f} - \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x^i} (\rho\, \vec{v}\,v^i) \ ,

die besagt, dass sich die zeitliche Änderung der Impulsdichte zusammensetzt aus der auf das Volumenelement wirkende Kraftdichte (zum Beispiel der Gradient des Drucks oder das Gewicht,  \vec{f}_{\text{Gravitation}}=\rho\, \vec{g}\, ) und dem Impulsstrom in das Gebiet hinein und heraus.

Siehe auch: Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik), Navier-Stokes-Gleichungen

Impuls in der Quantenmechanik[Bearbeiten]

In der Quantenmechanik gehört zu einem physikalischen Zustand eines Teilchens normalerweise kein bestimmter Impuls. Es kann nur die Wahrscheinlichkeit angegeben werden, dass der Impuls eines Teilchens in diesem oder jenem Bereich liegt. Entsprechendes gilt für den Ort. Für Impuls und Ort gilt die heisenbergsche Unschärferelation, nach der ein Teilchen nicht zugleich einen genauen Impuls und einen genauen Ort haben kann.

Die Zustände mit wohlbestimmtem Impuls heißen Eigenzustände des Impulsoperators. Ihre Wellenfunktionen sind ebene Wellen mit der Wellenlänge

\lambda=\frac{h}{p},

wobei h das plancksche Wirkungsquantum ist. Die De-Broglie-Wellenlänge \lambda von Materiewellen freier Teilchen ist also durch den Impuls bestimmt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]