Strophoide

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Die Strophoide (adjektivisches Kunstwort von griechisch στροφή, strofí - die Strophe, Wendung, Kurve, Drehung, Biegung), genauer die gerade Strophoide, ist eine spezielle ebene algebraische Kurve 3. Ordnung.

Gleichungen der geraden Strophoide[Bearbeiten]

Im Folgenden ist a eine positive reelle Zahl. In der Grafik der Strophoide am rechten Rand wird -a als S bezeichnet. In kartesischen Koordinaten ist die Strophoide definiert durch[1]

(a + x) x^2 - (a - x) y^2  =  0\,.

Eine Parameterdarstellung dieser Kurve lautet

x = \frac{a (t^2 - 1)}{1 + t^2}; \qquad y = \frac{a t (t^2 - 1)}{1 + t^2}\,.

Betrachtet man die Strophoide in Polarkoordinaten so lautet ihre definierende Gleichung

r = - \frac{a \cos(2\varphi)}{\cos\varphi}\,.

Eigenschaften der geraden Strophoide[Bearbeiten]

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

  • Die Punkte der geraden Strophoide sind gekennzeichnet durch die folgende geometrische Eigenschaft: Es seien S der Scheitelpunkt der Kurve und P ein beliebiger Kurvenpunkt, der von S verschieden ist. Bezeichnet man den von S und P verschiedenen Schnittpunkt der Geraden SP mit der Kurve als Q und den Schnittpunkt mit der y-Achse als R, so ist R von P und Q sowie vom Ursprung O gleich weit entfernt.
  • Die gerade Strophoide ist achsensymmetrisch bezüglich der x-Achse. Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse, nämlich der Ursprung und der Scheitel S mit den Koordinaten (-a;0).
  • Der Ursprung des Koordinatensystems ist ein Doppelpunkt der Kurve, d.h. er wird zweimal durchlaufen. Die beiden Winkelhalbierenden der Quadranten des Koordinatensystems stimmen mit den beiden Tangenten im Ursprung überein.
  • Die Gerade mit der Gleichung x = a (in der Skizze gestrichelt) ist Asymptote der Kurve.
  • Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat den Flächeninhalt a^2 \cdot \left(2 + \tfrac{\pi}{2} \right) .
  • Die Strophoide ist außerdem unter den Namen Ala, Fokale, harmonische Kurve (nach Werth), Kukumaide und Pteroides torricellana bekannt.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Guido Walz (Hrsg.): Strophoide. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.