Asymptote

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Eine Asymptote (altgr. ἀσύμπτωτος asýmptōtos „nicht übereinstimmend“,[1] von altgr. πίπτω pípto „ich falle“) ist in der Mathematik eine „einfache“ Funktion (meist Gerade), der sich eine zu diskutierende „komplexere“ Funktion beziehungsweise deren Graph im Unendlichen immer weiter annähert. Eine Sonderform stellen vertikale gerade Asymptoten dar, die sich mathematisch nicht als Funktion darstellen lassen. Eine weitere „Besonderheit“ ist der Asymptotische Punkt, bei dem die Annäherung nicht im Unendlichen stattfindet.

Eine weit verbreitete Auffassung ist, das sich eine Funktion der Asymptote zwar nähert, sie aber niemals erreicht oder schneidet. Dies stimmt jedoch nur für einen Teil der Funktionen mit asymptotischen Verhalten. Es gibt nämlich auch Funktionen, die schneiden ihre Asymptote ein- oder mehrmals in ihrem Verlauf und schlagen erst dann eine Richtung ein, die sich der Asymptote nähert ohne sie dann nochmals zu erreichen. Ferner gibt es Funktionen, die oszillieren (schwingen) um die Asymptote und schneiden sie dabei sogar unendlich oft (Beispiele zu beiden Fällen siehe weiter unten).

Asymptoten einer reellen Funktion f(x)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Generell sei die zu betrachtende Funktion, deren Definitionsbereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist. sei deren Asymptote. Eine Ausnahme stellen vertikale gerade Asymptoten dar, siehe dazu weiter unten.

Parallel zur in diesem Artikel gewählten Gliederung/Gruppierung der Asymptoten nach ihrer Form und Lage kann man Asymptoten – beziehungsweise das Verhalten einer Funktion zur Asymptote – auch wie folgt unterscheiden:

  1. horizontale Annäherung: der horizontale (waagerechte) Abstand Δx zwischen Funktion und Asymptote geht gegen Null…
    • …in Richtung unendlich großer/kleiner :
      Dies gilt für vertikale gerade Asymptoten.
    • …in Richtung eines Punktes:
      Dies gilt für den Asymptotischen Punkt.
  2. vertikale Annäherung: der vertikale (senkrechte) Abstand Δy zwischen Funktion und Asymptote geht gegen Null…
    • …in Richtung unendlich großer/kleiner :
      Mathematisch wird dies mittels Grenzwert ausgedrückt:
      oder
      Dies gilt für alle anderen Geraden Asymptoten (horizontale und schräge) sowie die Nichtgeraden Asymptoten.
    • …in Richtung eines Punktes:
      Dies gilt für den Asymptotischen Punkt.

Gerade Asymptoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hyperbelfunktion mit ihrer vertikalen () und horizontalen () Asymptote (beide gestrichelt)

Gerade Asymptoten können in drei Typen unterschieden werden: vertikale, horizontale und schiefe.[2]

Vertikale Asymptote[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vertikale (oder „senkrechte“) Asymptoten sind Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen. Einem wären in diesem Falle mehrere „zugeordnet“. Entsprechend lassen sich solche Geraden nicht als Funktion beschreiben. Sie sind also kein Schaubild einer Funktion. Vertikale Asymptoten werden daher über die Gleichung

beschrieben. Im Punkt schneidet die vertikale Asymptote die x-Achse des Koordinatensystems.

Eine zu betrachtende Funktion hat eine solche vertikale Asymptote, wenn der Funktionswert an einer Stelle gegen unendlich läuft. Anders gesagt: Nähert man sich auf der x-Achse von links oder rechts der Stelle , so geht gegen das positive oder negative Unendlich. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

,

oder

Im Unterschied zu allen anderen Asymptoten , bei denen sich die eingangs erwähnte „Annäherung im Unendlichen“ auf unendlich große bezieht, bezieht sich diese Annäherung bei vertikalen geraden Asymptoten also auf unendlich große -Werte (an einer konkreten Stelle ).

Eine weitere Besonderheit der vertikalen geraden Asymptoten ist die, dass eine reelle Funktion davon auch mehrere besitzen kann. Bekannte Funktionen mit mehreren vertikalen Asymptoten sind Tangens und Kotangens.

Dieser Abschnitt bedarf einer Überarbeitung: klar ist: An jeder Polstelle ist eine vertikale Asymptote (→dort Abschnitt Verhalten des Graphen). Stimmt der Schluss auch in die andere Richtung – sprich: Ist jede vertikale Asymptote immer an einer Polstelle? Wenn ja, dann könnte das hier auch so eingefügt werden. (siehe auch die Diskussion dazu.)
Hilf mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung.

Ferner haben alle Funktionen mit Polstellen an diesen Stellen vertikale Asymptoten, für die man dann auch die Bezeichnung „Polgerade“ oder „Polgerade von “ findet.

Horizontale Asymptote[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Horizontale (oder „waagerechte“) Asymptoten sind Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen. Sie können über die Gleichung

beschrieben werden. Dies entspricht einer Geradengleichung der Form mit . Als Funktion geschrieben haben horizontale Asymptoten die Form

.

Der Wert entspricht dann dem in der Geradengleichung. Im Punkt schneidet die horizontale Asymptote die y-Achse des Koordinatensystems.

Eine zu betrachtende Funktion hat eine solche horizontale Asymptote, wenn der Funktionswert im positiven oder negativen Unendlichen gegen den Wert läuft. Mathematisch lässt sich diese Bedingung mittels Grenzwert ausdrücken:

oder

Und dies analog den schiefen Asymptoten als Differenz geschrieben wäre dann:

oder

Bekannte Funktionen mit einer horizontalen Asymptote sind Exponential- und Hyperbelfunktionen.

Die letztgenannten Hyperbeln, wie z. B. sind das klassisches Beispiel für Funktionen mit vertikaler und horizontaler Asymptote:

  • Die vertikale Asymptote dieser Funktion ist die Gerade , die die x-Achse an der Stelle schneidet, was gleichzeitig die Polstelle dieser Hyperbelfunktion darstellt. Anders ausgedrückt: Der Schnittpunkt der vertikalen Asymptote mit der x-Achse ist in , was dem Ursprung des Koordinatensystems entspricht.
  • Die horizontale Asymptote dieser Funktion ist die Gerade , mit also . Die y-Achse wird folglich im Punkt geschnitten, also ebenfalls im Koordinatenursprung.

Weitere Beispiele von Funktionen mit horizontalen Asymptoten sind:

Schiefe Asymptoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion (rot) hat die schiefe Asymptote (grün) und die vertikale Asymptote (y-Achse)

Schiefe (oder „schräge“, „geneigte“) Asymptoten lassen sich mittels der Geradengleichung:

mit

oder als Funktion:

darstellen. Wichtig hierbei: , sonst wäre es eine horizontale Asymptote. Und wie man es von solchen linearen Funktionen kennt, läuft der Graph von in x- und y-Richtung gegen Unendlich.

Eine zu betrachtende Funktion hat eine solche schiefe Asymptote , wenn sie sich dieser im Unendlichen annähert. Diese Bedingung/Eigenschaft sieht mathematisch wie folgt aus:

oder

Anders gesagt: Eine Annäherung im Unendlichen heißt, dass der senkrechte Abstand zwischen Funktion und ihrer Asymptote im Unendlichen gegen Null läuft. Mathematisch stellt ein Abstand eine Differenz dar. Betrachtet man also diese Differenz zwischen der Funktion und ihrer Asymptote so läuft die Differenz im Unendlichen gegen Null:

oder

Nichtgerade Asymptoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die rationale Funktion mit ihrer vertikalen Asymptote und ihrer asymptotischen Näherungsparabel (beide gestrichelt)

Nicht nur Geraden können Asymptoten zu einer Funktion sein, sondern auch nichtgerade Kurven oder Funktionen. So können zum Beispiel beliebige Polynome (Quadratische Funktionen, etc.) Asymptoten zu anderen Funktionen sein. Und wie schon oben für die geraden Asymptoten (außer den vertikalen) beschrieben, gilt auch hier:

oder

Ist beispielsweise eine zu betrachtende rationale Funktion (mit den Polynomen und ), so erhält man deren Asymptote aus dem „Ganzteil“ der Polynomdivision von durch . Des Weiteren hat die Funktion vertikale Asymptoten durch ihre Polstellen.

Anmerkung: Der senkrechte Abstand von zu wird durch den „Restteil“ der Polynomdivision beschrieben. Dieser ist eine echt gebrochenrationale Funktion, die dieselben vertikalen Asymptoten wie hat und zusätzlich noch die horizontale Asymptote besitzt. Letzteres beschreibt noch einmal die Eigenschaft einer Asymptote: Wenn die Abstandsfunktion (Abstand zwischen Funktion und ihrer Asymptote ) eine horizontale Asymptote bei hat, so nähert sich der Abstand zwischen Funktion und ihrer Asymptote im Unendlichen gegen Null.

Ein Beispiel (siehe auch Abbildung rechts):

Diese Beispielfunktion hat folgende Asymptoten:

  • eine vertikale Asymptote durch ihre Polstelle und
  • die Parabel , die man aus dem „Ganzteil“ des Ergebnisses der Polynomdivision erhält. Eine Parabel als Aymptote nennt man dann Näherungsparabel. Dieser nähert sich die betrachtete Funktion im Unendlichen an.

Asymptotischer Punkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Asymptotischer Punkt
f(x)=x*sin(1/x) mit dem Asymptotischen Punkt (0|0)

Statt einer Kurve oder Geraden können sich Funktionen auch nur einem Punkt asymptotisch nähern. In diesem Fall gilt nicht die Bedingung der oben beschrieben „linienartigen“ Asymptoten, bei denen sich die Funktion erst im Unendlichen der Asymptote annähert. Hier ist ein Punkt im „Endlichen“ die Asymptote.

Asymptoten weiterer Kurven[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieser Abschnitt bedarf einer Überarbeitung: Es ist zu klären/belegen, ob die Stetigkeit und ob die genannte Abzählbarkeit der Definitionslücken eine Bedingung für ein asymptotisches Verhalten darstellen? (siehe auch die Diskussion dazu.)
Hilf mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung.

Neben obigen Funktionsgraphen stetiger Funktionen mit abzählbar vielen Definitionslücken – dies trifft auf die meisten in der Schule betrachteten Funktionen zu – gibt es noch weitere mathematisch definierbare Kurven, die ein asymptotisches Verhalten aufweisen können: Wege, algebraische Kurven, Spiralen, Klothoide, u. v. m.

Für eine algebraische Kurve lässt sich der Asymptotenbegriff aus Sicht der projektiven Geometrie auch als eine Tangente im Unendlichen beschreiben.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Duden, das große Fremdwörterbuch, Mannheim & Leipzig, 2000, ISBN 3-411-04162-5.
  2. Springer-Taschenbuch der Mathematik. 2013, doi:10.1007/978-3-8348-2359-5 (springer.com [abgerufen am 8. Juni 2018]).