Asymptote

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Die rot dargestellte Funktion besitzt die grün dargestellte Asymptote

Eine Asymptote (altgr. ἀσύμπτωτος asýmptōtos „nicht übereinstimmend“,[1] von altgr. πίπτω pípto „ich falle“) ist in der Mathematik eine Funktion, der sich eine andere Funktion im Unendlichen annähert.

Asymptote einer Kurve[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hinweis: Die hier gegebene Darstellung von Asymptoten ist mehr eine Beschreibung als eine formal saubere Definition.

Kurven im hier betrachteten Sinne sind in einem gewissen Sinne „eindimensionale“ Teilmengen eines euklidischen Raums , meist der euklidischen Ebene: Mathematisch sauber definierte Beispiele solcher Kurven sind die Bilder von Wegen, algebraische Kurven und Graphen von stetigen Funktionen mit abzählbar vielen Definitionslücken (dies trifft auf die meisten in der Schule betrachteten Funktionen zu). Nähert sich ein Graph einer Geraden an, ohne dass sich beide je im Verlauf berühren, so ist die Gerade eine Asymptote des Graphen.

Eine Asymptote einer solchen Kurve ist eine Gerade , der sich die Kurve „im Unendlichen beliebig annähert“. Präziser bedeutet das, dass der Abstand, den ein Punkt von zur Kurve hat, gegen 0 konvergiert, wenn entlang der Geraden ins Unendliche wandert. Formal könnte man schreiben:

,

wobei der Abstand von zu definiert ist als das Infimum der Abstände von zu den Punkten von :

Für eine algebraische Kurve lässt sich der Asymptotenbegriff aus Sicht der projektiven Geometrie auch so beschreiben:

Eine Asymptote ist eine Tangente im Unendlichen.

Asymptote einer reellen Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Asymptote ist eine Kurve, oft eine Gerade, die sich dem Graph einer Funktion beliebig weit annähert. Asymptoten von Funktionen werden beispielsweise im Kontext einer Kurvendiskussion betrachtet. Es wird im Folgenden zwischen unterschiedlichen Typen von Asymptoten unterschieden. Es gibt Asymptoten, die parallel zur x- oder zur y-Achse liegen. Es können auch die Graphen vorgegebener Funktionen als Asymptoten zu der zu untersuchten Funktion verstanden werden.

Im Folgenden sei eine Funktion, deren Definitionsbereich eine Teilmenge der reellen Zahlengerade ist.

Vertikale Asymptote[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gerade ist eine vertikale Asymptote des Graphs der Funktion , falls mindestens eine der beiden Gleichungen

,

gilt. Dann nennt man die Gerade eine senkrechte (oder vertikale) Asymptote von .

Horizontale Asymptote[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Horizontale Asymptoten sind horizontale Geraden, denen der Graph von für gegen beliebig Nahe kommt. Die Gerade ist eine waagerechte oder horizontale Asymptote der Funktion falls

oder

gilt.

Schräge und andere Asymptoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Gerade, der sich beim Grenzübergang nach oder beliebig annähert, d. h. gilt

oder ,

dann nennt man eine schräge (oder schiefe oder geneigte) Asymptote von .

Diese drei Arten von Asymptoten zusammen ergeben genau die Asymptoten des Graphen von , aufgefasst als Kurve im Sinne des oberen Abschnittes „Asymptote einer Kurve“.

Der Begriff der schrägen Asymptote wird manchmal dahingehend verallgemeinert, statt Geraden bestimmte „einfache“ Funktionen zuzulassen, die die obige Limes-Bedingung erfüllen (Näherungskurven).

So kann man zum Beispiel beliebige Polynome als schräge Asymptoten zulassen. Ist eine rationale Funktion (mit Polynomen und ), dann hat stets eine schräge Asymptote in diesem Sinne. Sie ist das bei Polynomdivision von durch entstehende Polynom . Der senkrechte Abstand von zu wird durch die echt gebrochenrationale Restfunktion angegeben, die dieselben senkrechten Asymptoten wie hat und zusätzlich die waagerechte Asymptote .

Man kann aber auch beliebige andere Klassen von Funktionen zu schrägen Asymptoten erklären, sofern sie die Limes-Bedingung erfüllen. Je nach Verwendungszweck ist die eine oder andere Definition angemessener.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion (siehe Hyperbel)

hat die Polstelle beziehungsweise senkrechte Asymptote bei und die waagerechte Asymptote .

Asymptoten von

Die Funktion

hat die Polstelle bei und (wenn man Polynome als schräge Asymptoten zulässt) die Näherungsparabel .

Asymptoten von

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Duden, das große Fremdwörterbuch, Mannheim & Leipzig, 2000, ISBN 3-411-04162-5.