Diskussion:Konfinalität

Unbeschränkte Funktion

"Unbeschränkte Funktion" am Anfang sollte m. E. im Text definiert werden. --Hanfried.lenz 20:36, 14. Sep. 2007 (CEST).

Habe den Artikel mal überarbeitet. Ich hoffe, dass das mit der unbeschränkten Funktion jetzt klarer ist. Grüße Einwohner 23:40, 14. Mai 2008 (CEST)

Kofinalität bei Kardinalzahlen

Kardinalzahlen sind besondere Ordinalzahlen und darum sind die Begriffe Kofinalität und Regularität auch Begriffe für Kardinalzahlen. Letzlich ist die Relevanz dieser Begriffe für die Theorie der Kardinalzahlen aber unabhängig davon. Die Frage "Wieviele kleinere Mengen benötige ich mindestens um eine gegebene Menge als deren Vereinigung darzustellen?" ist alleine eine Frage über Mächtigkeiten und berührt die Darstellung der Kardinalzahl als Ordinalzahl überhaupt nicht. Vielleicht sollte man das hier irgentwie einarbeiten. --B-greift 13:50, 20. Feb. 2011 (CET)

Ja, stimmt schon. Ich denke aber, daß der Begriff Konfinalität primär auf Ordinalzahlen Bezug nimmmt (konfinal ist ja auch die Folge, die die Ordinalzahl approximiert), und nicht auf die Partitionseigenschaft. Man könnte aber diese in die Einleitung mit aufnehmen, bei der Gelegenheit könnte man vielleicht auch die etwas unglückliche Formulierung ist eine Eigenschaft von abändern, die Konfinalität ist ja eher eine Funktion als eine Eigenschaft. Gruß, --SnowIsWhite 14:43, 20. Feb. 2011 (CET)

Alternative Konfinalitätsdefinition

Hallo Leute! Im Artikel steht neuerdings: „Äquivalent dazu ist eine Teilmenge $X$ genau dann konfinal in $\lambda$, wenn eine ordnungserhaltende Abbildung von $\lambda$ nach $X$ existiert (jedem $\eta$ wird ein $\lambda$ wie oben zugewiesen).“ Was soll eine ordnungserhaltende Abbildung sein, damit das richtig ist? Wenn die Abbildung nur die Relation $\leq$ erhalten muss ($a\leq b\Rightarrow f(a)\leq f(b)$), wäre demnach jede nichtleere Teilmenge konfinal. Wenn die Abbildung dagegen die Relation $<$ erhalten muss, hätte jede konfinale Teilmenge einer linear geordneten Menge $\lambda$ dieselbe Kardinalität wie $\lambda$, was ja genauso unerwünscht ist. MfG Stefan Knauf (Diskussion) 17:29, 23. Sep. 2012 (CEST)

Äh, sorry, dass die Abbildung jedes Element auf ein größeres abbildet, muss man natürlich dennoch explizit fordern. Irgendwie erinnere ich mich, einmal eine elegante Definition mittels dieses Ordnungshomomorphismus gehört zu haben, es fällt mir jetzt aber nicht mehr ein, und einfach nur so diese Bedingung da zu fordern, ist witzlos, deshalb mach ichs wieder weg. --Chricho ¹ ² ³ 17:35, 23. Sep. 2012 (CEST) PS: Hier finden sich ein paar (wenn auch nicht weiter spannende) Charakterisierungen konfinaler Abbildungen – wie wäre es mit einem eigenen Abschnitt zu konfinalen Abbildungen? Oder lieber ein eigener Artikel?

Abschnitt: Eigenschaften

Im Abschnitt stand:

Für nichtleere partiell geordnete Mengen ohne Maximum ist die Konfinalität mindestens abzählbar, [...].

Gemeint ist sicher partiell geordnete Mengen ohne maximale Elemente [...].

Ansonsten findet sich ein einfaches Gegenbeispiel: Es sei $\lambda$ die "untere Hälfte" des Hasse-Diagramms einer endlichen, mindestens zwei-elementigen Menge - also bspw. $\lambda =\{\emptyset ;\{0\};\{1\}\}$ - partiell geordnet durch die Inklusion. Die Menge besitzt offenbar kein Maximum, aber das endliche System der maximalen Elemente $\{\{0\};\{1\}\}$ liegt konfinal in $\lambda$.

Liebe Grüsse

-- 158.181.74.87 12:37, 23. Feb. 2015 (CET)

Menge von Mengen oder nur Menge

Im Text steht

Für eine Nicht-Nachfolgerordinalzahl $\lambda$ ist eine Teilmenge $X$ genau dann konfinal, wenn ihre Vereinigung $\textstyle \bigcup X$ gleich $\lambda$ ist.

Damit man aber $\textstyle \bigcup X$ bilden kann, muss $\textstyle X$ eine Menge von Mengen sein. Wenn nun $\textstyle X$ eine Teilmenge von $\lambda$ ist, dann ist auch $\lambda$ eine Menge von Mengen. $\textstyle \bigcup X$ ist aber nur eine Menge, kann also nicht gleich $\lambda$ sein. Da fehlt doch was, oder? --Nomen4Omen (Diskussion) 21:29, 1. Aug. 2017 (CEST)

Ordinalzahlen, und damit insbesondere Kardinalzahlen, sind immer Mengen von Mengen. Genauer ist jede Ordinalzahl gleich der Menge aller kleineren Ordinalzahlen. Vereinigungsbildung ist hier gleichbedeutend mit dem Supremum. --Digamma (Diskussion) 22:50, 1. Aug. 2017 (CEST)

Einfaches Beispiel: Die kleinste unendliche Ordinalzahl $\omega$ ist gerade gleich der Menge aller natürlichen Zahlen. --Digamma (Diskussion) 22:56, 1. Aug. 2017 (CEST)

Anderes Beispiel: $\lambda$ ist genau dann eine Nicht-Nachfolgerordinalzahl, wenn $\bigcup \lambda =\lambda$, andernfalls ist $\lambda =\left(\bigcup \lambda \right)+1$. --Chricho ¹ ² ³ 23:54, 1. Aug. 2017 (CEST)

Tatsächlich ! Im Artikel Ordinalzahl#Die natürlichen Zahlen als geordnete Mengen so im Video vorgeführt ! Aber, dass das immer so ist oder jeder so auffassen muss, steht nicht einmal dort. Und ich habe noch nie jemand die Fibonacci-Folge

$f_{\emptyset }=0$

$f_{\{\emptyset \}}=1$

...

indizieren sehen, nicht einmal aus Versehen – weil er nicht drangedacht hat, dass normale Menschen anders nummerieren. M.a.W.: eine kleine Bemerkung wäre vllt angebracht.

Ferner gehört das mit der Vereinigung schon in den erwähnten Artikel – und nicht nur hierrein, weil's hier nicht darum, sondern um die Konfinalität geht. --Nomen4Omen (Diskussion) 08:12, 2. Aug. 2017 (CEST)

Gemacht! --Nomen4Omen (Diskussion) 19:40, 3. Aug. 2017 (CEST)