Trigonometrische Gleichung

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Eine trigonometrische Gleichung (auch goniometrische Gleichung) ist eine Gleichung, in der die zu bestimmende Variable im Argument von trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) vorkommt. Bei der Lösung dieser Gleichungen sind die Beziehung zwischen den Winkelfunktionen hilfreich, insbesondere die Additionstheoreme.[1]

Anzahl der Lösungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen haben trigonometrischen Gleichungen im Allgemeinen unendlich viele Lösungen. Durch Beschränkung der Grundmenge auf ein „Basisintervall“ (zum Beispiel [0,2·π] oder [0,π]) reduziert man die Zahl der Lösungen auf eine endliche Anzahl oder man beschreibt die Lösungen durch einen Periodizitätssummanden (wie k·2·π oder k·π).

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die trigonometrische Gleichung

kann man unter Verwendung der Beziehung umformen zu

Durch Quadrieren erhält man

und daraus

also

mit den Lösungen

beziehungsweise im Bogenmaß

Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss man diese Lösungen an der Ausgangsgleichung verifizieren. Dadurch erhält man als gültige Lösungen der Ausgangsgleichung

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1741-9, S. 75.