Periodische Funktion

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In der Mathematik sind periodische Funktionen eine besondere Klasse von Funktionen. Sie haben die Eigenschaft, dass sich ihre Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Abstände zwischen dem Auftreten der gleichen Funktionswerte werden Periode genannt. Periodische Folgen können als Spezialfälle der periodischen Funktionen verstanden werden.

Reelle periodische Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Illustration einer periodischen Funktion mit der Periode P.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine reelle Zahl T ist eine Periode einer in \mathcal{D}_f \subseteq \mathbb{R} definierten Funktion, wenn gilt:

  • x \in \mathcal{D}_f \Longleftrightarrow x + T \in \mathcal{D}_f \quad\forall x \in \mathbb{R}
  • f(x+T) = f(x) \quad\forall x \in \mathcal{D}_f

Die Funktion f ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode T \neq 0 zulässt. Man sagt dann auch, f sei „T-periodisch“.

Eigenschaften der Menge der Perioden und Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Periode gelten folgende Eigenschaften:

  • Ist T eine Periode von f, so ist auch -T eine Periode von f;
  • Sind T_1 und T_2 zwei Perioden von f, so ist auch k_1 T_1+ k_2 T_2 mit k_1, k_2 \in \Z eine Periode von f.

Meist interessiert man sich für die kleinste positive Periode. Diese existiert für jede nichtkonstante stetige periodische Funktion. (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder beliebigen Periode ungleich 0.) Wenn f eine kleinste positive Periode hat, so sind die Perioden von f die Vielfachen von T. Im anderen Fall ist die Menge der Perioden von f dicht in \mathbb R.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der Sinusfunktion x \mapsto sin(x)

Bekannte periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen, insbesondere der Sinus, der eine immer gleich bleibende Schwingung zwischen -1 und 1 durchführt, die sich im Abstand von 2π (π ist die Kreiszahl pi) wiederholt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff der periodischen Funktion beschränkt sich nicht nur auf reelle Funktionen. Man kann ihn allgemeiner Definieren für Funktionen, auf deren Quellmenge eine Addition erklärt ist.

Sei also G eine (additive) Halbgruppe, M eine Menge und f \colon G \to M eine Funktion. Existiert ein T \in G mit

f(g + T) = f(g)

für alle g \in G, dann heißt die Funktion f periodisch mit Periode T.[1]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Periodische Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Periodische Folge

Da eine reelle Folge (a_{n})_{n \in \N} eine Funktion von den natürlichen Zahlen \N in die reellen Zahlen \R ist, kann der Begriff der periodischen Folge als Spezialfall einer periodischen Funktion aufgefasst werden. Eine Folge heißt periodische, falls es ein T gibt, so dass für alle n \in \N die Gleichheit a_{n+T} + a_n gilt. Hierbei wurde ausgenutzt, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine Halbgruppe ist.

Periodische Funktionen als Funktionen auf der Kreislinie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei S^1=\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\} der Einheitskreis. Man kann periodische Funktionen auf \R mit Periode T mit Funktionen auf S^1 identifizieren: Einer Funktion f auf S^1 entspricht die T-periodische Funktion

x\mapsto f(\mathrm e^{2\pi\mathrm i x/T}).

Hierbei ist x\mapsto f(\mathrm e^{2\pi\mathrm i \cdot /T}) eine Funktion auf dem Einheitskreis also einer Teilmenge der komplexen Zahlen. Eigenschaften der Funktionen wie Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit übertragen sich jeweils auf die andere Sichtweise.

Beispielsweise entsprechen Fourier-Reihen \textstyle \sum_{n\in\mathbb Z}c_n\mathrm e^{\mathrm in\omega t} unter dieser Abbildung den Laurent-Reihen \textstyle \sum_{n\in\mathbb Z}c_nz^n.

Periodische Funktionen auf reellen Vektorräumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum, z. B. \R^n. Eine Periode einer stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktion f auf V oder einem (offenen, zusammenhängenden) Teil D von V ist ein Vektor \gamma\in V, so dass

  • der Definitionsbereich D von f invariant unter der Translation mit \gamma ist, d. h. x\in D\iff x+\gamma\in D
  • für alle x\in D gilt: f(x+\gamma)=f(x).

Die Menge \Gamma aller Perioden von f ist eine abgeschlossene Untergruppe von V. Jede solche Untergruppe ist die direkte Summe aus einem Untervektorraum von V und einer diskreten Untergruppe; letztere lässt sich beschreiben als die Menge der ganzzahligen Linearkombinationen einer Menge linear unabhängiger Vektoren.

Wendet man diese Theorie auf den reell zweidimensionalen Vektorraum V=\mathbb C an und betrachtet nur holomorphe Funktionen f, so gibt es die folgenden Fälle:

  • \Gamma=\{0\}: f ist nicht periodisch.
  • \Gamma=\mathbb Z\cdot\gamma: f ist eine gewöhnliche periodische Funktion; beispielsweise ist die Exponentialfunktion periodisch mit Periode \gamma=2\pi\mathrm i.
  • \Gamma enthält einen nichttrivialen reellen Unterraum: Eine holomorphe Funktion, die entlang einer Gerade konstant ist, ist insgesamt konstant.
  • \Gamma=\mathbb Z\cdot\gamma_1+\mathbb Z\cdot\gamma_2: f hat zwei reell linear unabhängige Perioden. Ist f auf der ganzen Ebene meromorph, so spricht man von einer elliptischen Funktion.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1.  Guido Walz (Hrsg.): Periodische Funktion. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.