Formelsammlung Trigonometrie

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Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Trigonometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Dreieckberechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen

Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Trigonometrie in der Ebene. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck habe die Seiten , und , die Winkel , und bei den Ecken , und . Ferner seien der Umkreisradius, der Inkreisradius und , und die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken , bzw. gegenüberliegen) des Dreiecks . Die Variable steht für den halben Umfang des Dreiecks : . Schließlich wird die Fläche des Dreiecks mit bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.

Winkelsumme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sinussatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formel 1:

Formel 2:

wenn

wenn

wenn

Kosinussatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formel 1:

Formel 2:

wenn

wenn

wenn

(Satz des Pythagoras)

Projektionssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mollweideschen Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangenssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Formel 1:

Analoge Formeln gelten für und :

Formel 2:

wenn

wenn

wenn

Formeln mit dem halben Umfang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden bedeutet immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks , also .

Flächeninhalt und Umkreisradius[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird hier mit bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit , um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke auszuschließen):

Den Umkreisradius des Dreiecks bezeichnen wir mit .

(Es ist zu beachten, dass die hier benutzten Bezeichnungen , , , , für den Umkreisradius, den Inkreisradius und die drei Ankreisradien von der vorwiegend im englischsprachigen Raum verbreiteten Bezeichnungsweise abweichen, bei der dieselben Größen , , , , genannt werden.)

Heronsche Formel:

, wobei , und die Längen der von , bzw. ausgehenden Höhen des Dreiecks sind.

Erweiterter Sinussatz:

In- und Ankreisradien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius und die Ankreisradien , und des Dreiecks vorkommen.

[1]

Wichtige Ungleichung: ; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck gleichseitig ist.

Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für gilt in analoger Form für und .

Höhen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Längen der von , bzw. ausgehenden Höhen des Dreiecks werden mit , und bezeichnet.

Hat das Dreieck einen rechten Winkel bei (ist also ), dann gilt

Seitenhalbierende[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Längen der von , bzw. ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks werden , und genannt.

Winkelhalbierende[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir bezeichnen mit , und die Längen der von , bzw. ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck .

Allgemeine Trigonometrie in der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegenseitige Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

     („Trigonometrischer Pythagoras“)

(Siehe auch den Abschnitt Phasenverschiebungen.)

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:

für
für
für
für
für
für
für
für
für
für
für
für

Vorzeichen der Winkelfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vorzeichen von , und stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen , bzw. .

Wichtige Funktionswerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(°) (rad)

Es sind noch viele weitere Werte darstellbar.[2]

Symmetrien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

Phasenverschiebungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rückführung auf spitze Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Darstellung durch den Tangens des halben Winkels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Bezeichnung gelten die folgenden Beziehungen für beliebiges

 
 
 

Additionstheoreme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

[3]
[3]

Für folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen, für die Phasenverschiebungen.

Additionstheoreme für Arkusfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Arkusfunktionen gelten folgende Additionstheoreme[4]

Summanden Summenformel Gültigkeitsbereich
oder
und und
und und
oder
und und
und und
und
und
und
und

Doppelwinkelfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Winkelfunktionen für weitere Vielfache[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Formel für steht über [5] mit den Tschebyschow-Polynomen in Beziehung.

[6]
[7]
[8]
[9][10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[10][15]
[10]
[10]
[10]
[10]

Halbwinkelformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln:[10]

Außerdem gilt:

Siehe auch: Halbwinkelsatz

Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:[10]

Daraus ergeben sich noch Spezialfälle:

Produkte der Winkelfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:[10]

Aus der Doppelwinkelfunktion für folgt außerdem:

Potenzen der Winkelfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

[10][16]
[10][17]
[10][18]
[19]
[20]

Kosinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

[10][21]
[10][22]
[10][23]
[24]
[25]

Tangens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weitere Formeln für den Fall α + β + γ = 180°[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Formeln gelten für beliebige ebene Dreiecke und folgen nach längeren Termumformungen aus , solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).

Sinusoid und Linearkombination mit gleicher Phase[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

wobei

Allgemeiner ist

wobei

und

Reihenentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Sinus (rot) verglichen mit seinem 7. Taylorpolynom (grün)

Wie auch sonst in der Analysis werden alle Winkel im Bogenmaß angegeben.

Man kann zeigen, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Cosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt ) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle aus den reellen Zahlen gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für komplexe Argumente definiert ( bzw. bezeichnet dabei die Bernoulli-Zahlen):

[26]
[27]

Produktentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhang mit der komplexen Exponentialfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ferner besteht zwischen den Funktionen , und der komplexen Exponentialfunktion folgender Zusammenhang:

(Eulersche Formel)

Weiterhin wird geschrieben.[28]

Auf Grund der oben genannten Symmetrien gilt weiter:

Mit diesen Beziehungen können einige Additionstheoreme besonders einfach und elegant hergeleitet werden.

Sphärische Trigonometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Formelsammlung für das rechtwinklige und das allgemeine Dreieck auf der Kugeloberfläche findet sich in einem eigenen Kapitel.

Literatur, Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Wurzel 2006/04+05, 104ff., ohne Beweis
  2. Joachim Mohr: Kosinus-, Sinus und Tangenswerte, abgerufen am 1. Juni 2016
  3. a b Otto Forster Analysis 1 Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen vieweg 1983 Seite 87
  4. I.N.Bronstein, K.A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage, 1979. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig. S 237
  5. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 22.3.15, (s. a. oben „Weblinks“)
  6. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.27, (s. a. oben „Weblinks“)
  7. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.29, (s. a. oben „Weblinks“)
  8. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, 5th edition (1994). ISBN 0-12-294755-X 1.333.4
  9. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3 (Bei dieser Formel enthält Gradshteyn/Ryzhik allerdings einen Vorzeichenfehler)
  10. a b c d e f g h i j k l m n o I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig. 19. Auflage 1979. 2.5.2.1.3
  11. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.28, (s. a. oben „Weblinks“)
  12. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.30, (s. a. oben „Weblinks“)
  13. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.4
  14. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.5
  15. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3
  16. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.1
  17. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.2
  18. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.3
  19. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.4
  20. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.5
  21. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.1
  22. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.2
  23. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.3
  24. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.4
  25. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.5
  26. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.67, (s. a. oben „Weblinks“)
  27. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.70, (s. a. oben „Weblinks“)
  28. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, Birkhäuser Verlag, Basel 2006, 3. Auflage, S. 292 und 298