Trigonometrischer Pythagoras

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Geometrische Veranschaulichung des „trigonometrischen Pythagoras“

Als „trigonometrischer Pythagoras“ wird die Identität

bezeichnet.[1][2] Hierbei steht für und für . Die Gültigkeit dieser Identität kann am Einheitskreis gezeigt werden, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, der auch namensgebend für diesen häufig benutzten Satz der Trigonometrie ist.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Grundlage dient der Satz des Pythagoras. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse und den Katheten und

gilt. Wird der Winkel im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass seine Gegenkathete und seine Ankathete ist, so gilt allgemein

,
.

Einsetzen beider Gleichungen in den Satz von Pythagoras ergibt dann

,
.

Geometrische Veranschaulichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der nebenstehenden Skizze sind der Einheitskreis, das heißt ein Kreis mit Radius 1, und ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge 1 im Einheitskreis dargestellt. Anwenden des Satzes von Pythagoras zeigt sofort die Gültigkeit des „trigonometrischen Pythagoras“.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1.. Springer, , ISBN 978-3-8348-1749-5 (Zugriff am 14. Dezember 2011)., S. 251
  2. Mathematik leicht gemacht.. Harri Deutsch Verlag, August 2009, ISBN 978-3-8171-1836-6 (Zugriff am 14. Dezember 2011)., S. 94