Unbestimmter Ausdruck (Mathematik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Ein unbestimmter Ausdruck ist in der Mathematik ein Term, dessen Auftreten bei der Untersuchung von Grenzwerten eine besondere Rolle spielt. Der Begriff ist zu unterscheiden vom undefinierten Ausdruck.

Problemdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Division durch Null nicht definiert ist, stellt der Term 1 : 0 keine Zahl dar. Vergleicht man mit 1 : x, wobei x eine sehr kleine (aber positive) Zahl sein soll, so ergibt sich ein sehr großer Wert. Bei negativen x ergibt sich dagegen ein entsprechender negativer Wert von großem Betrag. Es liegt daher nahe, das Symbol einzuführen, so dass man immerhin die Betragsaussage treffen kann. Das Rechnen mit den um unendliche Elemente erweiterten reellen Zahlen ist mit geringen Einschränkungen möglich (siehe ausführlich erweiterte reelle Zahl). Einigen Termen wie 0 : 0 dagegen kann auch in solch einer Erweiterung weder eine Zahl noch das Symbol ∞ zugeordnet werden.

Vergleicht man den Term 0 : 0 mit x : y, wobei sowohl x als auch y betragskleine Zahlen sind, so kann deren Quotient wie oben einen sehr großen Betrag haben, aber ebenso gut jeden beliebigen anderen Wert. Selbst unter Zuhilfenahme von ∞ liegt also für 0 : 0 kein geeigneter Wert nahe, es ist deshalb ein unbestimmter Ausdruck.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Üblicherweise wird der Begriff „unbestimmter Ausdruck“ verwendet für:

[1]

Es handelt sich um genau diejenigen Ausdrücke, bei denen Grenzwertaussagen über den Ausdruck sich nicht allein aus den Grenzwerten der Operanden ergeben und selbst im Fall der Konvergenz verschiedene endliche Grenzwerte möglich sind.

Abgrenzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unbestimmter Ausdruck bedeutet nicht dasselbe wie

undefinierter Ausdruck
Zahlreiche weitere Ausdrücke sind – auch im Bereich der affin erweiterten reellen Zahlen – nicht definiert, etwa 1 : 0 oder . Umgekehrt ist es durchaus üblich, zu definieren.
Unstetigkeitsstelle bzw. nicht hebbare Definitionslücke der Rechenoperation
Sonst müsste auch 1 : 0 zu den unbestimmten Ausdrücken gezählt werden.

Keine unbestimmten Ausdrücke sind (unabhängig von Existenz oder Endlichkeit) Grenzwerte von konkreten Funktionen, wie

oder .

Zwar ergibt sich durch naives Einsetzen hier der unbestimmter Ausdruck 0 : 0 bzw. 0 · ∞. Durch genauere Untersuchung mit geeigneten Methoden wie der Regel von L’Hospital kann der Grenzwert bestimmt werden. Es gilt

sowie

und nicht etwa

bzw. .

Auftreten bei Folgengrenzwerten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und zwei Folgen reeller Zahlen, so kann man die Folgen , , und – sofern definieren; soweit beispielsweise gilt, auch . Falls die Ausgangsfolgen in den affin erweiterten reellen Zahlen konvergieren, etwa und , so gilt für die verknüpften Folgen auch meist , wobei eine der Grundrechenarten oder das Potenzieren bezeichnet. Wenn jedoch einer der oben aufgeführten unbestimmten Ausdrücke ist, ist das Grenzverhalten von unbestimmt. Tatsächlich kann eine (weitenteils) beliebige Folge vorgegeben werden und dann mit , , konstruiert werden, wie die folgende Auflistung zeigt.

  • 0 : 0
    Setze und . Dann und , wegen bzw. .
  • 0 · ∞
    Setze und . Dann und , wegen bzw. .
  • ∞ − ∞
    Setze und . Dann und es gilt wegen , wegen , falls , und , falls .
  • ∞ : ∞
    Es sei vorausgesetzt. Setze und . Dann , , also , und natürlich .
  • 00, ∞0, 1
    Es sei vorausgesetzt. Setze und bestimme wie oben Folgen , mit , und .
    • Mit und erledigt man den Fall 00,
    • mit und den Fall ∞0,
    • mit und den Fall 1

Auftreten bei Funktionsgrenzwerten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die oben für Folgen benutzten Methoden lassen sich leicht auf Funktionen verallgemeinern. Auf diese Weise findet man zu jeder reellen Zahl (oder auch oder ), jedem unbestimmten Ausdruck , jeder reellen Funktion (ggf. mit der Einschränkung ) zwei reelle Funktionen und mit für alle sowie und . Hierbei kann also jeden endlichen oder unendlichen Wert annehmen (ggf. nur nicht-negativ) oder auch gar nicht existieren. Mit anderen Worten: Aus der Kenntnis von und kann keinerlei Rückschluss auf gewonnen werden, wenn ein unbestimmter Ausdruck ist. Dagegen gilt für die Grundrechenarten und das Potenzieren durchaus , wenn es sich um einen definierten und nicht unbestimmten Ausdruck handelt (und in einer punktierten Umgebung von überhaupt definiert ist); ggf. sind hierbei die Rechenregeln für zu beachten, wie sie für die erweiterten reellen Zahlen gelten.

Erfüllen die Funktionen und die stärkeren Voraussetzungen der Regel von L'Hospital, insb. hinsichtlich Differenzierbarkeit, so lässt sich mit deren Hilfe ggf. eine Aussage über edn gesuchten Grenzwert machen.

Übersicht[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und reelle Funktionen und sei eine reelle Zahl oder einer der beiden symbolischen Werte oder . Es sei vorausgesetzt, dass die Grenzwerte und entweder existieren oder dass bestimmte Divergenz vorliegt, was symbolisch als Grenzwert bzw. ausgedrückt sei. In den meisten Fällen gilt, dass dann auch folgende Grenzwerte mit den angegebenen Werten existieren (bzw. bestimmte Divergenz vorliegt, wenn sich rechts ergibt):

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Hierbei seien die Rechenregeln für , für , für , für , für , für , für , für sowie entsprechende Vorzeichenvarianten vereinbart.

Die Existenz des Grenzwertes links, geschweige denn sein Wert, ergibt sich jedoch nicht auf diese einfache Weise aus den Grenzwerten der Operanden, wenn rechts einer der oben angegebenen unbestimmten Ausdrücke sich ergäbe. Im Folgenden werden Beispielfunktionen mit entsprechenden Grenzwerten aufgeführt, für die sich verschiedenste Grenzwerte bzw. Divergenz ergibt:

  • 0 : 0
    mit , .
    mit , .
  • ∞ : ∞
    mit , .
    mit , .
  • 0 · ∞
    mit , .
    mit , .
  • ∞ - ∞
    mit , .
    mit , .
  • mit , , sofern .
    mit , .
  • 0
    mit , , sofern .
  • ∞ 0
    mit , , sofern .
    mit , , sofern .

Durch mathematische Umformungen lassen sich die verschiedenen Typen unbestimmter Ausdrücke auf den Typ 1 zurückführen. Bei einem unbestimmten Ausdrucks vom Typ 2 entsteht zum Beispiel durch die Umformung ein Ausdruck des Typs 1.

Ausdrücke des Typs 5 bis 7 können durch Logarithmierung auf den Typ 1 zurückgeführt werden.

Der Ausdruck lässt grundsätzlich ebenfalls keine vollständige Aussage über das Grenzverhalten zu, jedoch kann sich hierbei zumindest anders als bei den oben aufgezählten Fällen gewiss kein endlicher Grenzwert ergeben, sondern allenfalls bestimmte Divergenz nach oder . Als Beispiel betrachte man mit für sowie wahlweise

  • : bestimmte Divergenz nach ,
  • : bestimmte Divergenz nach ,
  • : links- und rechtsseitig verschiedene bestimmte Divergenz, insgesamt also unbestimmte Divergenz,
  • : selbst einseitig liegt unbestimmte Divergenz vor.

Der Ausdruck 00[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Sonderrolle kommt dem Ausdruck zu, der an sich durchaus definiert ist, nämlich als . Hierzu beachte man, dass das Potenzieren, also die Berechnung des Ausdrucks , zunächst überhaupt nur definiert wird als wiederholtes Multiplizieren, wobei folglich eine nichtnegative ganze Zahl sein muss. Dann ist das leere Produkt, welches – unabhängig von – als 1 definiert wird: Es soll gelten, was zumindest für zwingend ergibt. Das leere Produkt hat keine Faktoren, und insofern ist es gleichgültig, welchen Wert der gar nicht auftretende Faktor hat, so dass sich auch ergibt. Die Definition ist auch aus anderen Gründen sinnvoll. Beispielsweise gibt es, wenn beide nichtnegative ganze Zahlen sind, stets genau Abbildungen von einer -elementigen Menge in eine -elementige Menge. Nur mit der Definition gilt dies auch im Fall .

Die so als Abbildung von nach definierte Operation des Potenzierens lässt sich im Reellen per auch auf den Fall , fortsetzen sowie für nichtnegatives durch Wurzelziehen zunächst auf nichtnegative rationale Exponenten und dann per Grenzwertbetrachtung auch auf . Letzteres ist per Definition stetig in , jedoch ist das Potenzieren als Abbildung von nach insgesamt nicht stetig an der Stelle : Beispielsweise gilt , aber . Aus dieser Unstetigkeit ergibt sich die oben genannte Unbestimmtheit im Zusammenhang mit Grenzwerten.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric Weisstein: Indeterminate. In: MathWorld (englisch).