Ungleichung von Guha

Die Ungleichung von Guha (englisch Guha’s inequality) ist eine von mehreren elementaren Ungleichungen im Umfeld der AGM-Ungleichung und lässt sich als solche dem mathematischen Gebiet der Analysis zurechnen. Sie geht auf eine wissenschaftliche Publikation von U. C. Guha aus dem Jahre 1967 zurück.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

Gegeben seien reelle Zahlen $a,p,q,x,y$ und für diese gelte $a\geq 0$ sowie $p\geq q>0$ und $x\geq y>0$.

Dann ist:

${\bigl (}px+y+a{\bigr )}\cdot {\bigl (}x+qy+a{\bigr )}\geq {\bigl (}(p+1)x+a{\bigr )}\cdot {\bigl (}(q+1)y+a{\bigr )}$

Anmerkungen

• Die Bedeutung der Ungleichung liegt darin, dass sie, wie Guha 1967 zeigte, eine einfache und zugleich geschickte Herleitung der AGM-Ungleichung für beliebig (jedoch endlich) viele nichtnegative Zahlen ermöglicht.
• Der Beweis der Ungleichung lässt sich rein algebraisch führen. Mittels algebraischer Umformungen kann man ihre Gleichwertigkeit mit der Ungleichung $\left(px-qy\right)\cdot \left(x-y\right)\geq 0$ nachweisen, welche aufgrund der getroffenen Voraussetzungen offenbar gültig ist. Sie lässt sich ebenfalls auf geometrisch-anschauliche Weise zeigen.
• Es gilt das Gleichheitszeichen genau im Falle $x=y$.

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 36). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 (MR2498836). 
• P. S. Bullen, D. S. Mitrinović, Petar M. Vasić (Hrsg.): Means and Their Inequalities (= Mathematics and Its Applications (East European Series). Band 31.). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht 1988, ISBN 90-277-2629-9 (MR0947142 – Translated and revised from the Serbo-Croatian). 
• U. C. Guha: Arithmetic mean – geometric mean inequality. In: Mathematical Gazette. Band 51, 1967, S. 145–146.