Monomorphismus

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Monomorphismus (von griechisch μόνος monos ein, allein und griechisch μορφή morphé Gestalt, Form) ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der Algebra und der Kategorientheorie. In der Algebra bezeichnet er einen Homomorphismus, der injektiv ist. In der Kategorientheorie verallgemeinert er den Begriff der injektiven Abbildung und erlaubt es Objekte als Unterobjekte von anderen aufzufassen.

Man beachte, dass die universelle Algebra und die Kategorientheorie jeweils einen zu Monomorphismus dualen Begriff, nämlich den Epimorphismus, erklären, diese beiden Epimorphismus-Begriffe jedoch nicht äquivalent sind.

Monomorphismen algebraischer Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Homomorphismus von

der injektiv ist, heißt Monomorphismus.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Abbildung mit ist ein Vektorraum-Monomorphismus.
  • Die Abbildung mit ist zwar ein Gruppenhomomorphismus, aber nicht injektiv.
  • Ein Homomorphismus von Gruppen, Ringen oder Moduln (insbesondere Vektorräumen) ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial ist. Für einen beliebigen Homomorphismus von Gruppen, Ringen oder Moduln (bzw. Vektorräumen) ist
        
    ein Monomorphismus, wenn die kanonische Abbildung auf der Restklassenstruktur ist. Denn es gilt und damit ist trivial.
  • Homomorphismen von Körpern sind stets injektiv, also stets Monomorphismen.

Monomorphismen relationaler Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für allgemeinere Strukturen (im Sinne der Modelltheorie), insbesondere für relationale Strukturen, ist ein Monomorphismus definiert als injektiver starker Homomorphismus.[1] Äquivalent dazu: Die Abbildung ist ein Isomorphismus auf ihr Bild. Für den Spezialfall algebraischer Strukturen erhält man die obige Definition, da jeder Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen stark ist.

Monomorphismen in beliebigen Kategorien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Kategorientheorie ist ein Monomorphismus ein Morphismus mit folgender Eigenschaft:[2]

Sind beliebige Morphismen mit , dann folgt (Man sagt auch: ist linkskürzbar).

(zusammen mit ) heißt dann ein Unterobjekt von .

In Kategorien von algebraischen Strukturen sowie in den Kategorien der Mengen oder der topologischen Räume sind die Monomorphismen genau die injektiven Morphismen. Es gibt aber auch konkrete Kategorien mit nicht-injektiven Monomorphismen.

In den Pfeildiagrammen der homologischen Algebra wird ein Monomorphismus als kurze exakte Sequenz

oder unter Verwendung eines Hakenpfeils mit zwei Termen als

notiert.

Beispiel eines nicht injektiven Monomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten die Kategorie Div der teilbaren Gruppen: Die Objekte sind die abelschen Gruppen , für die folgendes gilt:

Für alle und alle , , existiert ein mit ; das Element lässt sich also „durch teilen“.

Die Morphismen sind die Gruppenhomomorphismen zwischen diesen Gruppen.

Die abelschen Gruppen und liegen in dieser Kategorie. Die kanonische Projektion ist surjektiv, aber nicht injektiv. Wir zeigen, dass sie ein Monomorphismus in Div ist.

Ist nämlich eine beliebige teilbare Gruppe und sind zwei Morphismen mit der Eigenschaft , dann gilt . Wäre nun , dann gäbe es ein mit . Bei vertausche man die Rollen von und , so dass man auf jeden Fall erhält. Da teilbar ist, gäbe es dann ein mit . Dann wäre aber

,

also , was widerspräche.

Extremale Monomorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Monomorphismus heißt extremal, wenn er zusätzlich folgende Extremaleigenschaft erfüllt:

Ist und ist ein Epimorphismus, dann muss ein Isomorphismus sein.

In den Kategorien der Mengen bzw. der Gruppen sind die extremalen Monomorphismen gerade die Monomorphismen.

In der Kategorie der topologischen Räume sind die extremalen Monomorphismen die Einbettungen. In der Kategorie der Hausdorff-Räume sind die extremalen Monomorphismen die abgeschlossenen Einbettungen.

In der Kategorie der Banachräume sind die extremalen Monomorphismen genau diejenigen linearen stetigen injektiven Abbildungen , für die es ein positives gibt so dass für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:

Unterobjekte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu einem gegebenen Objekt einer Kategorie kann man die Unterkategorie der Scheibenkategorie betrachten, deren Objekte allesamt Monomorphismen in sind. Parallele Pfeile sind hier immer identisch; es handelt sich also um eine Quasiordnung. Die partielle Ordnung der Unterobjekte von ist nun diejenige, die aus durch den Übergang zu Isomorphieklassen entsteht.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, S. 21.
  2. Steve Awodey: Category theory. Clarendon Press, Oxford 2010, ISBN 0-19-923718-2, S. 25.