Vergleichssatz

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Vergleichssätze (englisch: comparison principle) sind in der Theorie von Differentialgleichungen wichtige Hilfsmittel, um Aussagen über das Verhalten von Lösungen dieser Gleichungen treffen zu können. Diese sind insbesondere deshalb wichtig, da man für solche Gleichungen oftmals keine expliziten Lösungsformeln angeben kann.

Vergleichssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist der Vergleichssatz eines der wichtigsten Hilfsmittel, um Aussagen über Lösungen von (skalaren) Differentialgleichungen erster Ordnung zu treffen, welche man nicht explizit ausrechnen kann.

Anschaulich bedeutet er, dass Lösungen derselben Differentialgleichung angeordnet bleiben, d.h., ist für zwei Lösungen einer skalaren Differentialgleichung, so bleibt auf dem gesamten gemeinsamen Definitionsbereich. Ist insbesondere eine Lösung der Differentialgleichung explizit bekannt, so gewinnt man daraus Abschätzungen für nicht explizit ausrechenbare Lösungen.

Da es jedoch nicht immer möglich ist, explizite Lösungen aufzufinden, ist es aus praktischen Gründen notwendig, auch mit Ober- bzw. Unterlösungen vergleichen zu können, da diese leichter zu konstruieren sind.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei , stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Weiter seien eine Ober- bzw. Unterlösung von , d. h., es gelte für alle mit

für alle . Gilt zudem , so folgt

für alle .

Variante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog gilt, wobei man durch ersetze: Falls , so folgt für alle .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei und . Angenommen, . Für folgt auf und . Man fixiere ein . Es ist eine kompakte Teilmenge von . Da lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen, gibt es ein mit

für alle und . Es folgt

für alle , also für alle . Integration liefert , also für alle . Aus der Stetigkeit von folgt der Widerspruch .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte das Anfangswertproblem

Es besitzt eine nicht-fortsetzbare Lösung . Die Differentialgleichung hat die trivialen Lösungen und . Gemäß dem Vergleichssatz, jeweils angewandt auf und , gilt für alle . Insbesondere folgt aus dem Satz über das maximale Existenzintervall, dass , d. h., die Lösung existiert global. Zudem liefert die Abschätzung . Somit ist streng monoton fallend.

Vergleichssätze für partielle Differentialgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch für partielle Differentialgleichungen existieren Vergleichssätze, etwa für die nichtlineare parabolische Differentialgleichung.[1] Als Verallgemeinerung des schwachen Maximumprinzips erlauben die Vergleichssätze Aussagen insbesondere über die Lösungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 190-194