Woodbury-Matrix-Identität

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Die Woodbury-Matrix-Identität, benannt nach Max A. Woodbury,[1][2] besagt, dass die Inverse einer Rang--Korrektur einer Matrix als eine Rang--Korrektur der Inversen ausgedrückt werden kann. Gängig sind auch die Bezeichnungen Sherman-Morrison-Woodbury-Formel oder nur Woodbury-Formel. Doch die Gleichung wurde schon vor Woodburys Bericht erwähnt.[3]

Die Woodbury-Gleichung lautet[4]

,

wobei , , und Matrizen des korrekten Formats bezeichnen. Genauer ist eine -Matrix, eine -Matrix, eine -Matrix und eine -Matrix.

Im Spezialfall und , wird die Gleichung auch Sherman-Morrison-Formel genannt. Wenn die Einheitsmatrix ist, wird die Matrix oft Kapazitätsmatrix genannt.[3]

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Identität ist nützlich in vielen numerischen Berechnungen, in denen bereits berechnet ist und benötigt wird. Mit der Inversen von , ist es nur nötig die Inverse von zu berechnen. Wenn eine wesentlich kleinere Dimension hat als , ist das viel effizienter als direkt zu invertieren.

Die Formel wird auch in der Herleitung zu speicherplatzeffizienten Darstellungen von Quasi-Newton-Verfahren benutzt.[5]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Max A. Woodbury: Inverting modified matrices. Memorandum Rept. 42, Statistical Research Group, Princeton University, Princeton, NJ, 1950, 4pp MR38136
  2. Max A. Woodbury: The Stability of Out-Input Matrices. Chicago, Ill., 1949. 5 pp. MR32564
  3. a b William W. Hager: Updating the inverse of a matrix. In: SIAM Review. 31, Nr. 2, 1989, S. 221–239. MR 997457. JSTOR 2030425. doi:10.1137/1031049.
  4. Nicholas Higham Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd, SIAM, 2002, ISBN 978-0-89871-521-7, MR 1927606.
  5. Byrd Nocedal Schnabel: Representations of quasi-Newton matrices and their use in limited memory methods. In: Mathematical Programming. 63, Nr. 1, 1994, S. 129–156.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]