Woodbury-Matrix-Identität

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Die Woodbury-Matrix-Identität, benannt nach Max A. Woodbury,[1][2] besagt, dass die Inverse einer Rang-k-Korrektur einer Matrix A als eine Rang-k-Korrektur der Inversen A^{-1} ausgedrückt werden kann. Gängig sind auch die Bezeichnungen Sherman-Morrison-Woodbury-Formel oder nur Woodbury-Formel. Doch die Gleichung wurde schon vor Woodburys Bericht erwähnt.[3]

Die Woodbury-Gleichung lautet[4]

 \left(A+UCV \right)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1}+VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1},

wobei A, U, C und V Matrizen des korrekten Formats bezeichnen. Genauer ist A eine n \times n-Matrix, U eine n \times k-Matrix, C eine k \times k-Matrix und V eine k \times n-Matrix.

Im Spezialfall k=1 und C=1, wird die Gleichung auch Sherman-Morrison-Formel genannt. Wenn C die Einheitsmatrix I ist, wird die Matrix I+VA^{-1}U oft Kapazitätsmatrix genannt.[3]

Anwendung[Bearbeiten]

Die Identität ist nützlich in vielen numerischen Berechnungen, in denen A^{-1} bereits berechnet ist und (A+UCV)^{-1} benötigt wird. Mit der Inversen von A, ist es nur nötig die Inverse von C^{-1} + VA^{-1}U zu berechnen. Wenn C eine wesentlich kleinere Dimension hat als A, ist das viel effizienter als A + UCV direkt zu invertieren.

Die Formel wird auch in der Herleitung zu speicherplatzeffizienten Darstellungen von Quasi-Newton-Verfahren benutzt.[5]

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Max A. Woodbury: Inverting modified matrices. Memorandum Rept. 42, Statistical Research Group, Princeton University, Princeton, NJ, 1950, 4pp MR38136
  2. Max A. Woodbury: The Stability of Out-Input Matrices. Chicago, Ill., 1949. 5 pp. MR32564
  3. a b William W. Hager: Updating the inverse of a matrix. In: SIAM Review. 31, Nr. 2, 1989, S. 221–239. MR 997457. JSTOR 2030425. doi:10.1137/1031049.
  4. Nicholas Higham Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd, SIAM, 2002, ISBN 978-0-89871-521-7, MR 1927606.
  5. Byrd Nocedal Schnabel: Representations of quasi-Newton matrices and their use in limited memory methods. In: Mathematical Programming. 63, Nr. 1, 1994, S. 129–156.

Weblinks[Bearbeiten]