Wurzel 3

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Wurzel 3 als Länge der Diagonale eines Würfels
Wurzel 3 im Koordinatensystem

Die Quadratwurzel aus 3 (geschrieben \sqrt{3}) ist die positive, reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert 3 ergibt. Die Wurzel von 3 ist eine irrationale Zahl. Sie ist eine mathematische Konstante, auch bekannt unter dem Namen Theodorus-Konstante, benannt nach Theodoros von Kyrene.

Näherungsweise gilt: \sqrt{3} \approx  1{,}7320508

Ihre Kettenbruchentwicklung ist \sqrt{3} = [1;1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,…].

Es ist auch \sqrt{3} = (4 \cos^2 \tfrac{\pi}{12}) - 2 und \sqrt{3} = \tan\tfrac{\pi}{3}.

Beweis der Irrationalität[Bearbeiten]

Angenommen, \sqrt{3} wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier teilerfremder ganzer Zahlen a und b schreiben:

\sqrt{3} = {a \over b}.

Durch Quadrieren der Gleichung erhält man

3 = {a^2 \over b^2}

bzw.

3b^2 = {a^2}   (1)

In Gleichung (1) ist die rechte Seite genau dann ungerade, wenn a ungerade ist. Ebenso ist die linke Seite (weil 3 ungerade ist) genau dann ungerade, wenn b ungerade ist. Folglich haben a und b die gleiche Parität. Als teilerfremde Zahlen können aber nicht beide gerade sein, also sind a und b beide ungerade. Demnach kann man sie mit geeigneten ganzen Zahlen m und n in der Form

a = 2m + 1 bzw. b = 2n +1

schreiben. Setzt man diese Ausdrücke in (1) ein, ergibt sich

3(4n^2 + 4n + 1) = 4m^2 + 4m + 1

und nach elementaren Umformungen (Ausmultiplizieren, variable Ausdrücke auf eine Seite bringen, Division durch 2)

1 = 2(m^2 + m -3n^2-3n)   (2)

In Gleichung (2) ist die rechte Seite gerade, da sie das Doppelte einer ganzen Zahl ist, während die 1 links ungerade ist. Dies ist ein Widerspruch, so dass die Annahme, \sqrt 3 wäre rational, falsch sein muss. Folglich ist \sqrt 3 irrational.[1]

Die ersten 100 Nachkommastellen[Bearbeiten]

1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 1690880003 7081146186 7572485756[2]

Weitere Dezimalstellen finden sich auch unter Folge A002194 in OEIS.

Anwendung[Bearbeiten]

Das Verhältnis der Seitenlängen a und r dieses Rechtecks im Kreis ist \tfrac{\sin{60^\circ}}{\cos{60^\circ}} = \sqrt{3}.
  • Das Verhältnis zwischen der Diagonale eines dreidimensionalen Würfels und der Kantenlänge beträgt \sqrt{3}
  • Die Distanz zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten eines regulären Sechsecks mit der Seitenlänge 1 beträgt \sqrt{3}
  • Der Verkettungsfaktor, das Verhältnis von Phasenspannung (230 V) zu Außenleiterspannung (400 V), beträgt bei Dreiphasenwechselstrom \sqrt{3}
  • Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 1 beträgt \tfrac{\sqrt{3}}{2}

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. vgl. The Irrationality of square root of three (englisch)
  2. The square root of 3 to 100,000 places von Owen O’Malley (englisch)