Wurzel 3

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Square root of 3 in cube.svg 01-Square roots of 3.svg
Wurzel 3 als Länge der Diagonale eines Würfels
Wurzel 3 als Länge der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
Wurzel 3 im Koordinatensystem

Die Quadratwurzel aus 3 (geschrieben ) ist die positive, reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert 3 ergibt. Die Wurzel von 3 ist eine irrationale Zahl. Sie ist eine mathematische Konstante, auch bekannt unter dem Namen Theodorus-Konstante, benannt nach Theodoros von Kyrene.

Näherungsweise gilt:

Ihre Kettenbruchentwicklung ist [1;1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,…].

Es ist auch und

Beweis der Irrationalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angenommen, wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier teilerfremder ganzer Zahlen und schreiben:

.

Durch Quadrieren der Gleichung erhält man

bzw.

  (1)

In Gleichung (1) ist die rechte Seite genau dann ungerade, wenn ungerade ist. Ebenso ist die linke Seite (weil 3 ungerade ist) genau dann ungerade, wenn ungerade ist. Folglich haben und die gleiche Parität. Als teilerfremde Zahlen können aber nicht beide gerade sein, also sind und beide ungerade. Demnach kann man sie mit geeigneten ganzen Zahlen und in der Form

bzw.

schreiben. Setzt man diese Ausdrücke in (1) ein, ergibt sich

und nach elementaren Umformungen (Ausmultiplizieren, variable Ausdrücke auf eine Seite bringen, Division durch 2)

  (2)

In Gleichung (2) ist die rechte Seite gerade, da sie das Doppelte einer ganzen Zahl ist, während die 1 links ungerade ist. Dies ist ein Widerspruch, so dass die Annahme, wäre rational, falsch sein muss. Folglich ist irrational.[1]

Die ersten 100 Nachkommastellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 1690880003 7081146186 7572485756[2]

Weitere Dezimalstellen finden sich auch unter Folge A002194 in OEIS.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Verhältnis der Seitenlängen a und r dieses Rechtecks im Kreis ist .
  • Das Verhältnis zwischen der Diagonale eines dreidimensionalen Würfels und der Kantenlänge beträgt
  • Die Distanz zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten eines regulären Sechsecks mit der Seitenlänge 1 beträgt
  • Der Verkettungsfaktor, das Verhältnis von Phasenspannung (230 V) zu Außenleiterspannung (400 V), beträgt bei Dreiphasenwechselstrom
  • Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 1 beträgt

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. vgl. The Irrationality of square root of three (englisch)
  2. The square root of 3 to 100,000 places von Owen O’Malley (englisch)