Zusammenziehbarer Raum

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Zusammenziehbare Räume - auch als kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet - werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume als trivial. Viele in der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein topologischer Raum heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung

und einen festen Punkt gibt, sodass

  • für alle und
  • für alle

gilt.[1]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der euklidische Raum ist zusammenziehbar: Setze
für und .
Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne "stetig zu einem Punkt deformiert wird": Das Bild der Abbildung
ist für stets der gesamte Raum, erst für ist das Bild nur noch der Ursprung.

Schwach zusammenziehbare Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein topologischer Raum heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle die Homotopiegruppen trivial sind, d.h.

und für alle .

Wenn ein Raum zusammenziehbar ist, dann ist er auch schwach zusammenziehbar.

Für CW-Komplexe gilt auch die Umkehrung: Aus und für alle folgt, dass der CW-Komplex zusammenziehbar ist. Für beliebige topologische Räume gilt die Umkehrung i.A. nicht.

Weitere Resultate[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es liegen die folgenden Resultate vor:

Gegenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Einheitssphäre (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für einfach zusammenhängend ist.
  • Der Raum, den man als Vereinigung von
mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.
Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1st corrected Springer edition, Reprint. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0, S. 25.
  2. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 224
  3. Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 112
  4. a b Willard, op. cit., S. 226
  5. a b Thorsten Camps et al., op. cit., S. 111
  6. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 162