Zusammenziehbarer Raum

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Ein kontrahierbarer oder zusammenziehbarer Raum wird im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie werden zusammenziehbare Räume als trivial betrachtet. Viele in der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein topologischer Raum heißt kontrahierbar oder zusammenziehbar, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Raum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung

und einen festen Punkt gibt, sodass

  • für alle und
  • für alle

gilt.[1]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der euklidische Raum ist zusammenziehbar: Setze
für und .
Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne "stetig zu einem Punkt deformiert wird": Das Bild der Abbildung
ist für stets der gesamte Raum, erst für ist das Bild nur noch der Ursprung.

Schwach zusammenziehbare Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein topologischer Raum heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle die Homotopiegruppen trivial sind, d.h.

und für alle .

Wenn ein Raum zusammenziehbar ist, dann ist er auch schwach zusammenziehbar.

Für CW-Komplexe gilt auch die Umkehrung: Aus und für alle folgt, dass der CW-Komplex zusammenziehbar ist. Für beliebige topologische Räume gilt die Umkehrung i.A. nicht.

Gegenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Einheitssphäre (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für einfach zusammenhängend ist.
  • Der Raum, den man als Vereinigung von
mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.
Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1st corrected Springer edition, Reprint. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0, S. 25.