Homotopieäquivalenz

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Eine Homotopieäquivalenz ist ein zentraler Begriff im mathematischen Teilgebiet Topologie: eine stetige Abbildung, die eine "stetige Umkehrabbildung bis auf Homotopie" besitzt.

Zwei Räume heißen homotopieäquivalent, wenn es eine Homotopieäquivalenz zwischen ihnen gibt. (Man sagt dann auch, die beiden Räume haben denselben Homotopietyp.) Homotopieäquivalenz definiert eine schwächere Äquivalenzrelation als Homöomorphismus. Topologie handelt zwar eigentlich von Eigenschaften, die unter Homöomorphismen invariant sind, viele topologische Invarianten sind aber auch invariant unter Homotopieäquivalenz.

Während man sich einen Homöomorphismus als Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen (aber nicht Zerschneiden) vorstellt, ist bei Homotopieäquivalenzen anschaulich gesprochen auch das Aufdicken und Zusammenquetschen zulässig.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ist eine Homotopieäquivalenz, wenn es eine stetige Abbildung gibt, so dass die Verknüpfungen und jeweils homotop zu den Identitätsabbildungen von bzw. sind. Die Abbildung heißt Homotopie-Inverse von , sie ist i. A. nicht eindeutig bestimmt.

Zwei topologische Räume und heißen homotopieäquivalent, wenn es eine Homotopieäquivalenz gibt.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die schwarzen Unterräume sind jeweils Deformationsretrakte.
  • Jeder Homöomorphismus ist eine Homotopieäquivalenz.
  • Eine Homotopieäquivalenz zwischen CW-Komplexen heißt einfache Homotopieäquivalenz, wenn sie homotop zu einer Folge von elementaren Kollapsen und Expansionen ist.
  • Ein Unterraum ist ein Deformationsretrakt von , wenn die Inklusion eine Homotopieäquivalenz ist und es eine Homotopie-Inverse mit gibt.
  • Ein topologischer Raum heißt kontrahierbar oder zusammenziehbar, wenn er homotopieäquivalent zum Punkt ist.

Schwache Homotopieäquivalenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und topologische Räume, und , und sei

eine stetige Abbildung mit . Dann hat man für alle n ≥ 0 einen Homomorphismus der Homotopiegruppen

heißt schwache Homotopieäquivalenz wenn alle Isomorphismen sind. Jede Homotopieäquivalenz ist insbesondere eine schwache Homotopieäquivalenz.

Zwei topologische Räume und heißen schwach homotopieäquivalent, wenn es eine schwache Homotopieäquivalenz gibt.

Eine schwache Homotopieäquivalenz induziert Isomorphismen

und

der Homologie- und Kohomologiegruppen für alle Koeffizientengruppen .[1]

Satz von Whitehead[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

J. H. C. Whitehead bewies 1949 folgenden Satz:

Jede schwache Homotopieäquivalenz zwischen zusammenhängenden CW-Komplexen ist eine Homotopieäquivalenz.

Es trifft jedoch nicht zu, dass es zwischen Räumen mit isomorphen Homotopiegruppen immer eine (schwache) Homotopieäquivalenz gibt. Zum Beispiel sind

und

zusammenhängende CW-Komplexe mit isomorphen Homotopiegruppen. Falls zum Beispiel ungerade und gerade ist, ist aber

und ,

weshalb die beiden Räume nicht (schwach) homotopieäquivalent sein können.

Für topologische Räume, die keine CW-Komplexe sind, gilt der Satz von Whitehead i. A. nicht. Der Raum, den man als Vereinigung von

mit einem und verbindenden Kreisbogen erhält, ist kein CW-Komplex, alle seine Homotopiegruppen sind trivial, die konstante Abbildung auf einen Punkt ist also eine schwache Homotopieäquivalenz. Sie ist aber keine Homotopieäquivalenz, der Raum ist nicht kontrahierbar.

Es gibt noch einen anderen als „Satz von Whitehead“ bezeichneten Satz über schwache Homotopieäquivalenzen:

Eine stetige Abbildung zwischen einfach zusammenhängenden Räumen ist genau dann eine schwache Homotopieäquivalenz, wenn sie einen Isomorphismus der singulären Homologiegruppen induziert.

Kettenhomotopieäquivalenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Kettenkomplexe und heißen kettenhomotopieäquivalent, wenn es Kettenhomomorphismen

gibt, so dass und kettenhomotop zu den Identitäts-Abbildungen sind.

Eine Kettenhomotopieäquivalenz zwischen zwei Kettenkomplexen induziert einen Isomorphismus der Homologiegruppen.

Eine Homotopieäquivalenz zwischen topologischen Räumen induziert eine Kettenhomotopieäquivalenz ihrer singulären Kettenkomplexe.

Homologietheorien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede Homologietheorie im Sinne von Eilenberg-Steenrod gilt nach dem Homotopieaxiom:

Es seien zwei stetige Abbildungen, die homotop sind. Dann sind die beiden induzierten Gruppenhomomorphismen identisch.

Daraus folgt insbesondere, dass eine Homotopieäquivalenz einen Isomorphismus für jede (verallgemeinerte) Homologietheorie induziert. (Analog für Kohomologietheorien.)

Aus dem Satz von Hurewicz folgt, dass sogar jede schwache Homotopieäquivalenz einen Isomorphismus der singulären Homologiegruppen (und singulären Kohomologiegruppen) induziert.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X und ISBN 0-521-79540-0
  • J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. I., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213–245
  • J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. II., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453–496

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hatcher (op.cit.), Proposition 4.21