Zyklisches Polytop

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Ein zyklisches Polytop ist ein konvexes Polytop mit Ecken auf der Momentenkurve. Es ist für viele Fragen der kombinatorischen Theorie von Polytopen von großer Bedeutung, unter anderem für das Upper-Bound-Theorem.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die Momentenkurve in der Dimension d.

Dann ist das zyklische Polytop die konvexe Hülle von n Punkten auf der Momentenkurve, wobei n nicht kleiner als d+1 ist.

mit

Es ist auch möglich, das zyklische Polytop auf anders definierten Momentenkurven zu definieren.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Zweidimensionalen ist die Momentenkurve mit der Normalparabel identisch. Jedes Polygon, dessen Ecken auf der Normalparabel liegen, ist ein zyklisches Polytop.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Zwei gleichdimensionale zyklische Polytope mit gleich vielen Ecken sind kombinatorisch äquivalent. Man kann also von dem zyklischen d-Polytop mit n Ecken sprechen. Diese Eigenschaft folgt aus dem Geradheitskriterium von Gale.
  • Das zyklische Polytop ist ein simpliziales Polytop, d. h. jede seiner echten Seite ist ein Simplex.
  • Des Weiteren ist ein -nachbarschaftliches Polytop. Jede konvexe Hülle einer beliebigen Menge von Ecken ist eine Seite des Polytops.
  • Die herausragendste Eigenschaft des zyklischen Polytops ist seine „Extremalität“. Unter allen d-dimensionalen Polytopen mit n Ecken hat die maximale Anzahl von k-dimensionalen Seiten (k < d). Ein d-Polytop mit n Ecken kann also nicht mehr k-Seiten haben als das entsprechende zyklische Polytop mit n Ecken (Upper-Bound-Theorem).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]