Polygon

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Polygon (Begriffsklärung) aufgeführt.
verschiedene Polygone bzw. polygonale Flächen
Historische Abbildung von Vielecken (1699)

Polygon (von altgriechisch πολυγώνιον polygṓnion ‚Vieleck‘; zurückzuführen auf πολύς polýs ‚viel‘ und γωνία gōnía ‚Winkel‘)[1] oder auch Vieleck ist ein Begriff aus der Geometrie und dabei insbesondere der Planimetrie. Ein Polygon ist eine geometrische Figur, die man erhält, indem man mindestens drei voneinander verschiedene Punkte in einer Zeichenebene (die Ecken) durch Strecken (die Kanten) miteinander verbindet, sodass durch den entstandenen Linienzug (Polygonzug) eine Fläche umschlossen wird. Auch diese so entstandene Fläche wird oft Polygon genannt. Dreiecke, Vierecke und Sechsecke sind aus dem Alltag bekannte Beispiele für Polygone.

Mathematische Definition und Bezeichnungen[Bearbeiten]

Unterteilung der Polygone

Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel P := \left( P_1, P_2, \dotsc, P_n \right), P_i \in \mathbb{R}^2, 1 \le i \le n von n verschiedenen Punkten definiert ist.

  1. Die n Punkte heißen die Eckpunkte oder kurz Ecken des Polygons, ein Polygon mit n-Ecken heißt auch n-Eck.
  2. Die Strecken \overline {P_i P_{i+1}} \left(i=1, \dotsc, n-1 \right)

und \overline { P_n P_1 } bezeichnet man als Seiten des Polygons.

  1. Alle Verbindungsstrecken \overline { P_i P_j } zweier Eckpunkte, welche keine Seiten sind, nennt man Diagonalen.
  2. Polygone, deren Kanten sich nicht nur in den Eckpunkten schneiden (berühren), bezeichnet man als überschlagen. die umschlossene Fläche ist in diesem Fall von Berührungspunkten abgesehen, nicht zusammenhängend.
  3. Polygone, deren Diagonalen alle vollständig innerhalb der Fläche liegen, nennt man konvex. Ihre Innenwinkel sind alle kleiner als der gestreckte Winkel (180°).

Manchmal werden noch weitere Bedingungen für die Definition eines Polygons vorausgesetzt, welche aber mathem. nicht notwendig sind:

  • Das Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte. Das schließt ein "Zweieck" aus.
  • Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch P_n , P_1 , P_2 und P_{n-1} , P_n , P_1 gelten als angrenzende Eckpunkte. Das schließt Ecken mit gestrecktem Winkel aus.

Mathematische Beziehungen[Bearbeiten]

Innenwinkel[Bearbeiten]

In einem nicht überschlagenen, ebenen n-Eck ist die Summe der Innenwinkel

 \alpha_1+\dotsb+\alpha_n = (n - 2) \cdot 180^\circ.

Sind darüber hinaus alle Innenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

 \alpha = \frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ.

Anzahl der Diagonalen[Bearbeiten]

Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

  1. Jede der n Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
  2. Die Verbindung von Ecke P_a zur Ecke P_b ist mit der Verbindung von P_b nach P_a identisch.
  3. Genau n Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein nicht überschlagenes n-Eck genau \tfrac{n \cdot (n-1)}{2} - n = \tfrac{n \cdot (n-3)}{2} Diagonalen.

  1. Beim nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.

Fläche[Bearbeiten]

Gaußsche Trapezformel[Bearbeiten]

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen (s. u.) Polygons durch kartesische Koordinaten (x_i, y_i) gegeben sind, kann man die Fläche des Polygons nach der Gaußschen Trapezformel berechnen:

\mathrm 2 A\ =\ \left|\sum_{i=1}^n (y_{i} + y_{i+1})\cdot (x_{i}-x_{i+1})\right| \ =\ \left|\sum_{i=1}^n (x_{i} + x_{i+1})\cdot (y_{i+1}-y_{i})\right|\ =\ \left|\sum_{i=1}^n x_i\cdot y_{i+1}- y_i \cdot x_{i+1}\right|

Wobei die Indizes, die größer als n sind, immer modulo n betrachtet werden müssen, d. h. mit x_{n+1} ist x_1 gemeint:

 2 A\ =\ \left|  x_n\cdot y_1- y_n \cdot x_1 + \sum_{i=1}^{n-1} x_i\cdot y_{i+1}- y_i \cdot x_{i+1}\right|

Als Determinanten:

 2 A\ =\ \left|  \quad
\begin{vmatrix} x_n & y_n \\ x_1 & y_1 \end{vmatrix} + \sum_{i=1}^{n-1}\begin{vmatrix} x_i & y_i \\ x_{i+1} & y_{i+1} \end{vmatrix} 
 \quad\right|

Vorzeichenbehaftete Summe von Dreiecksflächen[Bearbeiten]

Neben der Gaußsche Trapezformel kann die Fläche eines Polygons durch eine vorzeichenbehaftete Summen der Flächeninhalte von Dreiecken berechnet werden, die mit den Kanten des Polygons als Basen und einem festen Punkt (z.B. der Ursprungspunkt) als Spitze gebildet werden. Die Flächeninhalte der Dreiecke mit einer dem festen Punkt abgewandten Basis (als Kante des Polygons) werden mit negativen Vorzeichen versehen.[2]

Approximation[Bearbeiten]

In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.

Regelmäßige Polygone[Bearbeiten]

Ein einfaches, nicht überschlagenes, planares, konvexes, regelmäßiges Siebeneck

Vielecke können gleichseitig oder gleichwinklig sein. Hat ein Vieleck gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel, dann wird es als reguläres oder regelmäßiges Vieleck bezeichnet. Reguläre Vielecke sind isogonal, d. h. seine Ecken liegen gleichabständig, also unter gleichem Zentriwinkel, auf einem Kreis.

Ein reguläres n-Eck hat stets einen Umkreis mit Radius r_\mathrm u und einen Inkreis mit Radius r_\mathrm i. Die Länge jeder Seite wird mit a bezeichnet, die Seitenanzahl mit n. Daraus ergeben sich folgende Formeln für reguläre, nicht-überschlagene Polygone:

Flächeninhalt

A = \frac{n \, a\, r_i }{2} = \frac{n \, r_u^2}{2} \cdot \sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right)
= \frac{n \, a^2}{4} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n} \right)
= \frac{n \, a^2}{4 \, \tan \left( \frac{\pi}{n} \right)}
Inkreisradius (Apothema)
 r_i = \frac{a}{2} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)
=\frac{a} {2 \, \tan \left( \frac{\pi}{n} \right)}
Umkreisradius
 r_u = \frac{a}{2} \cdot \csc \left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a}{2 \, \sin \left( \frac{\pi}{n} \right)}

Vergleich der Werte[Bearbeiten]

n: Eckenzahl
\varphi: Zentriwinkel einer Seite (in Grad)
a: Seitenlänge
r_u: Umkreisradius
r_i: Inkreisradius
\alpha: Innenwinkel (in Grad)
A: Fläche
n Systematische Bezeichnung \varphi \frac{a}{r_u} \frac{r_i}{r_u} \alpha \frac{A}{r_u^2} Grafik
2 Digon[Anm 1] 180° 2,0000 0,0000 0 0,0000 Polygon-002.svg
3 Trigon 120° 1,7321 0,5000 60 1,2990 Polygon-003.svg
4 Tetragon 90° 1,4142 0,7071 90 2,0000 Polygon-004.svg
5 Pentagon 72° 1,1756 0,8090 108 2,3776 Polygon-005.svg
6 Hexagon 60° 1,0000 0,8660 120 2,5981 Polygon-006.svg
7 Heptagon 51,43° 0,8678 0,9010 128,57 2,7364 Polygon-007.svg
8 Oktogon 45° 0,7654 0,9239 135 2,8284 Polygon-008.svg
9 Enneagon 40° 0,6840 0,9397 140 2,8925 Polygon-009.svg
10 Dekagon 36° 0,6180 0,9511 144 2,9389 Polygon-010.svg
11 Hendekagon 32,73° 0,5635 0,9595 147,27 2,9735 Polygon-011.svg
12 Dodekagon 30° 0,5176 0,9659 150 3,0000 Polygon-012.svg
13 Tridekagon 27,69° 0,4786 0,9709 152,31 3,0207 Polygon-013.svg
14 Tetradekagon 25,71° 0,4450 0,9749 154,29 3,0372 Polygon-014.svg
15 Pentadekagon 24° 0,4158 0,9781 156 3,0505 Polygon-015.svg
16 Hexadekagon 22,5° 0,3902 0,9808 157,5 3,0615 Polygon-016.svg
17 Heptadekagon 21,18° 0,3675 0,9830 158,82 3,0706 Polygon-017.svg
18 Oktodekagon 20° 0,3473 0,9848 160 3,0782 Polygon-018.svg
19 Enneadekagon 18,95° 0,3292 0,9864 161,05 3,0846 Polygon-019.svg
20 Ikosagon 18° 0,3129 0,9877 162 3,0902 Polygon-020.svg
21 Ikosakaihenagon 17,14° 0,2981 0,9888 162,86 3,0949 Polygon-021.svg
22 Ikosakaidigon 16,36° 0,2846 0,9898 163,64 3,0991 Polygon-022.svg
23 Ikosakaitrigon 15,65° 0,2723 0,9907 164,35 3,1027 Polygon-023.svg
24 Ikosakaitetragon 15° 0,2611 0,9914 165 3,1058 Polygon-024.svg
25 Ikosakaipentagon 14,4° 0,2507 0,9921 165,6 3,1086 Polygon-025.svg
26 Ikosakaihexagon 13,85° 0,2411 0,9927 166,15 3,1111 Polygon-026.svg
27 Ikosakaiheptagon 13,33° 0,2322 0,9932 166,67 3,1133 Polygon-027.svg
28 Ikosakaioctagon 12,86° 0,2239 0,9937 167,14 3,1153 Polygon-028.svg
29 Ikosakaienneagon 12,41° 0,2162 0,9941 167,59 3,1171 Polygon-029.svg
30 Triakontagon 12° 0,2091 0,9945 168 3,1187 Polygon-030.svg
  1. entartetes Objekt

Berechnungen[Bearbeiten]

Berechnung der Kenndaten konstruierbarer Polygone: (r = Radius des Umkreises)

Regelmäßige Polygone
Polygon Seitenlänge Zentriwinkel Innenwinkel Umfang Fläche
Gleichseitiges Dreieck  a = r \cdot \sqrt{3}  \mu = 120^\circ  \alpha = 60^\circ  u = r \cdot 3 \sqrt{3}  A = r^2 \cdot \frac{3}{4} \sqrt{3}
Quadrat  a = r \cdot \sqrt{2}  \mu = 90^\circ  \alpha = 90^\circ  u = r \cdot 4 \sqrt{2}  A = r^2 \cdot 2
Regelmäßiges Fünfeck  a = r \cdot \sqrt{\tfrac12 (5 - \sqrt{5})}  \mu = 72^\circ  \alpha = 108^\circ  u = r \cdot 5 \sqrt{\tfrac12 (5 - \sqrt{5})}  A = r^2 \cdot \frac{5}{8} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}
Regelmäßiges Sechseck a = r \, \mu = 60^\circ  \alpha = 120^\circ u = r \cdot 6  A = r^2 \cdot \frac32 \sqrt{3}
Regelmäßiges Achteck a = r \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} \mu = 45^\circ  \alpha = 135^\circ u = r \cdot 8 \sqrt{2 - \sqrt{2}} A = r^2 \cdot 2 \sqrt{2}
Regelmäßiges Zehneck  a = r \cdot \frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-1 \right)  \mu = 36^\circ  \alpha = 144^\circ  u = r \cdot 5 \left(\sqrt{5}-1 \right)  A = r^2  \cdot \frac{5}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}
Regelmäßiges Zwölfeck  a = r \cdot  \sqrt{ 2 - \sqrt{3}}  \mu = 30^\circ  \alpha = 150^\circ  u = r \cdot 12 \sqrt{ 2 - \sqrt{3}}  A = r^2  \cdot 3
Regelmäßiges n-Eck  a = r \cdot 2 \, \sin \left( \frac{\pi}{n} \right)  \mu = \frac{360^\circ}{n}  \alpha = \frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ  u = r \cdot 2 \, n \, \sin \left( \frac{\pi}{n} \right)  A = r^2 \cdot \frac{n}{2} \, \sin \left( \frac{2 \pi}{n} \right)
Grenzwert n \to \infty (Kreis)  a \to 0  \mu \to 0^\circ  \alpha \to 180^\circ  u = r \cdot 2 \pi  A = r^2 \cdot \pi

Aus der Seitenlänge eines N-Ecks lässt sich die Seitenlänge eines 2N-Ecks mit gleichem Umkreis wie folgt berechnen:

 a_{2n} = a_n \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2 + 2 \cos \varphi_n}}{2 - 2 \cos \varphi_n}} mit  \varphi_n = \frac{360^\circ}{n}

Benennung geläufiger Polygone[Bearbeiten]

Besondere Polygontypen[Bearbeiten]

  • Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als überschlagen.
  • Falls der Schnitt zweier Kanten entweder leer oder eine Ecke ist, und jede Ecke zu höchstens zwei Kanten gehört (das heißt, es liegt keine Selbstüberschneidung vor), bezeichnet man das Polygon als einfach.
  • Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.
  • Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.
  • Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.
  • Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (d.h. der Innenwinkel an jeder Kante beträgt entweder 90° oder 270°).

Berühmte Vielecke[Bearbeiten]

Polygone in der Computergrafik[Bearbeiten]

In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.

Nichtmathematische Bedeutung[Bearbeiten]

Einige Polygone haben neben der geometrischen eine Bedeutung als Form in der Architektur (Beispiel Pentagon) oder in der Symbolik (Beispiel Pentagramm).

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Wilhelm Gemoll: Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch. G. Freytag Verlag/Hölder-Pichler-Tempsky, München/Wien 1965.
  2. [1] (PDF; 66 kB), Zhang, Cha, and Tsuhan Chen. "Efficient feature extraction for 2D/3D objects in mesh representation." Image Processing, 2001. Proceedings. 2001 International Conference on. Vol. 3. IEEE, 2001. APA

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Polygon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Polygon – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wiktionary: Vieleck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen