Äquivarianter Indexsatz

In der Mathematik ist der äquivariante Indexsatz eine von Michael Atiyah, Graeme Segal und Isadore Singer bewiesene Formel für die Superspur von Elementen einer mit einem Dirac-Operator kommutierenden Gruppenwirkung, die die Berechnung des äquivarianten Indexes von Dirac-Operatoren aus dem ${\hat {A}}$-Geschlecht der Fixpunktmenge und dem äquivarianten Chern-Charakter ermöglicht. Als Spezialfall erhält man die Fixpunktformel von Atiyah–Bott.

Definition des äquivarianten Index

Sei $\pi :E=E^{+}\oplus E^{-}\to M$ ein Bündel von Clifford-Moduln mit $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$-Gradierung, und $G$ eine kompakte Lie-Gruppe, die auf $E$ und $M$ wirkt, so dass $\pi$ äquivariant ist. Auf $E$ habe man einen mit der Clifford-Wirkung kompatiblen $G$-invarianten Zusammenhang. Sei $D$ der assoziierte Dirac-Operator mit Einschränkungen $D^{\pm }\colon \Gamma (M,E^{\pm })\to \Gamma (M,E^{\mp })$.

Dann kommutiert $D$ mit der $G$-Wirkung und der Kern $Ker(D)$ ist eine endlich-dimensionale Darstellung von $G$. Der äquivariante Index von $D$ ist dann definiert als der Charakter dieser Darstellung, also als die Superspur

$Ind_{G}(g,D):=\operatorname {str} (g\mid \ker D)=\operatorname {tr} (g\mid \ker D^{+})-\operatorname {tr} (g\mid \ker D^{-}).$

Für $g=id$ erhält man den Fredholm-Index von $D$.

Atiyah-Bott-Fixpunktformel

Als eine Anwendung der Atiyah-Bott-Fixpunktformel erhält man für ein $\mathbb {Z}$-gradiertes Hermitesches Vektorbündel $E$ über einer Riemannschen Mannigfaltigkeit $M$: Wenn $D$ ein Differentialoperator erster Ordnung auf den Schnitten $\Gamma (M,E)$ ist mit $D^{2}=0$ und $DD^{*}+D^{*}D$ ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator, und wenn die Wirkung von $g\in G$ auf $M$ nur isolierte nicht-ausgeartete Fixpunkte hat und sich zu einer mit $D$ kommutierenden Bündelabbildung von $E$ heben lässt, dann ist

$ind_{G}(g,D)=\sum _{x\in M^{g}}{\frac {Str(g_{x}^{E})}{\vert \det(1-g_{x}^{-1})\vert }}$

mit $M^{g}=\left\{x\in M\colon gx=x\right\}$.

Asymptotische Entwicklung

Sei $\langle x\vert e^{-tD^{2}}\vert y\rangle$ der Integralkern des Operators $ge^{-tD^{2}}$ und $k_{t}(g,x)=\langle x\vert e^{-tD^{2}}\vert x\rangle$. Dann hat $k_{t}(g,.)$ für $t\to 0$ eine asymptotische Entwicklung

$k_{t}(g,.)\sim (4\pi t)^{-{\frac {1}{2}}dimM^{g}}\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}\Phi _{i}(g,.)$

mit $supp(\Phi _{i}(g,.))\subset M^{g}=\left\{x\in M\colon gx=x\right\}$. Das Symbol von $\Phi _{i}(g,.)$ ist

${\frac {{\hat {A}}(M^{g})\exp(-F_{0}^{E}\sigma _{\dim(NM^{g})}g^{E}}{\det ^{\frac {1}{2}}(1-g_{1})\det ^{\frac {1}{2}}(1-g_{1}\exp(-R^{1}))}}$,

wobei $NM^{g}$ das Normalenbündel der Fixpunktmenge bezeichnet.

Aussage des äquivarianten Indexsatzes

Der äquivariante Index eines äquivarianten Dirac-Operators kann berechnet werden als

$ind_{G}(g,D)=i^{-{\frac {1}{2}}\dim(M)}\int _{M^{g}}(2\pi )^{-{\frac {1}{2}}\dim(M^{g})}T_{M}\left({\frac {{\hat {A}}\left(M^{g}\right)ch_{G}(g,E)}{\det ^{\frac {1}{2}}\left(1-g_{1}\exp \left(-R^{1}\right)\right))}}\right)\vert \mathrm {d} x_{0}\vert$.

Hierbei bezeichnet ${\hat {A}}(M^{g})$ das Â-Geschlecht der Fixpunktmenge $M^{g}$, $ch_{G}$ den äquivarianten Chern-Charakter und $T_{M}$ das Berezin-Integral.

Literatur

• Berline, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag