Zusammenhang (Prinzipalbündel)

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In der Differentialgeometrie ist der Zusammenhang ein Konzept, mit dem Paralleltransport zwischen den Fasern eines Prinzipalbündels erklärt werden kann. In der Physik werden solche Zusammenhänge zur Beschreibung von Feldern bei den Yang-Mills-Theorien verwendet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Prinzipalbündel mit der Strukturgruppe . Die Gruppe wirke durch

.

Ferner bezeichne die Lie-Algebra der Lie-Gruppe .

Ein Zusammenhang ist dann eine -wertige 1-Form , die -äquivariant ist und deren Einschränkung auf die Fasern mit der Maurer-Cartan-Form übereinstimmt. Es sollen also die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein:

für alle

und

für alle .

Hierbei ist definiert durch . bezeichnet das Differential von . ist die adjungierte Wirkung und ist das sogenannte fundamentale Vektorfeld. Es wird durch

für

auf definiert.

Krümmung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Krümmung einer Zusammenhangsform ist definiert durch

Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch

und die äußere Ableitung durch

definiert.

Die Krümmungsform ist -invariant und definiert deshalb eine 2-Form auf .

Bianchi-Identität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhangs- und Krümmungsform genügen der Gleichung

.

Horizontale Unterräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Zusammenhangsform auf einem -Prinzipalbündel sind die horizontalen Unterräume definiert durch

.

Die horizontalen Unterräume sind transversal zu den Tangentialräumen der Fasern von , und sie sind -invariant, d. h. für alle .

Aus den horizontalen Unterräumen kann man die Zusammenhangsform zurückgewinnen (nach Identifikation des Tangentialraums der Faser mit ) durch Projektion von entlang auf den Tangentialraum der Faser.

Paralleltransport[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu jedem Weg und jedem gibt es einen Weg mit und . (Das folgt aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen.)

Insbesondere hat man zu jedem Weg eine durch

definierte Abbildung

,

den sogenannten Paralleltransport entlang des Weges .

Zu einem Punkt definiert man die Holonomiegruppe als Untergruppe der Diffeomorphismen der Faser wie folgt. Zu einem geschlossenen Weg mit und einem gibt es eine eindeutige Hochhebung mit und wir definieren . Die Gruppe der für alle ist die Holonomiegruppe.

Hauptartikel: Holonomie

Riemannscher Zusammenhang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist das Rahmenbündel ein Prinzipalbündel mit der linearen Gruppe .

Sei die Matrix, die mit Hilfe einer lokalen Basis durch

definiert wird, wobei der Levi-Civita-Zusammenhang ist, so wird durch

die riemannsche Zusammenhangform definiert. Es gilt

.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]