Krullscher Hauptidealsatz

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Der Krullsche Hauptidealsatz ist ein zentraler Satz der Dimensionstheorie von noetherschen Ringen in der kommutativen Algebra, der nach Wolfgang Krull benannt ist und von ihm 1928 veröffentlicht wurde.[1][2]

Sei ein noetherscher Ring, eine Nichteinheit und minimal unter den Primidealen, die das Hauptideal enthalten.

Dann ist die Höhe des Primideals höchstens .[3][4][5]

Verallgemeinerung auf beliebige Ideale

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Die Aussage des Krullschen Hauptidealsatzes lässt sich von Hauptidealen auf beliebige Ideale verallgemeinern. Sie wird dann auch als Krullscher Höhensatz bezeichnet.[6]

Sei ein noetherscher Ring, ein echtes Ideal, welches von Elementen erzeugt wird und minimal unter den Primidealen, die das Ideal enthalten. Dann ist die Höhe des Primideals höchstens .[7][8]

Bedeutung für die algebraische Geometrie

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Da man die Dimension einer affinen algebraischen Varietät als Krulldimension des zugehörigen Koordinatenrings erhält, liefert der Krullsche Hauptidealsatz direkt Abschätzungen über Dimensionen bestimmter Varietäten. Man erhält so etwa die folgende Aussage:

Sind irreduzible projektive Varietäten im -dimensionalen projektiven Raum über dem Körper . Dann erhält man für eine irreduzible Komponente die Abschätzung

.[9]

Einzelnachweise

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  1. Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, S. 231.
  2. Krull: Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. 1928, §3.
  3. Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.1.
  4. Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.1.
  5. Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. 1969, Corollary 11.17.
  6. Markus Brodmann: Algebraische Geometrie: Eine Einführung. Birkhäuser, Basel 1989, ISBN 978-3-7643-1779-9, S. 143.
  7. Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.2.
  8. Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.4.
  9. Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.9.