Zufallsstichprobe

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Eine Zufallsstichprobe (auch Wahrscheinlichkeitsauswahl, Zufalls-Stichprobe, Zufallsauswahl, Random-Sample) ist eine Stichprobe aus der Grundgesamtheit die mit Hilfe eines speziellen Auswahlverfahrens gezogen wird. Bei einem solchen Zufallsauswahlverfahren hat jedes Element der Grundgesamtheit eine angebbare Wahrscheinlichkeit (größer Null), in die Stichprobe zu gelangen. Nur bei Zufallsstichproben sind, streng genommen, die Methoden der induktiven Statistik anwendbar.

Mathematische Definition

Eine Stichprobe ist zunächst einmal eine Teilmenge einer Grundgesamtheit. Für eine Zufallsstichprobe werden zusätzliche Bedingungen gestellt:

• die Elemente werden zufällig aus der Grundgesamtheit gezogen, und
• die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Element aus der Grundgesamtheit gezogen wird, ist angebbar.

Des Weiteren unterscheidet man zwischen einer uneingeschränkten und einer einfachen Zufallsstichprobe:

• Uneingeschränkte Zufallsstichprobe:
  • jedes Element der Grundgesamtheit hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen
• Einfache Zufallsstichprobe:
  • jedes Element der Grundgesamtheit hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen und
  • die Ziehungen aus der Grundgesamtheit erfolgen unabhängig voneinander

Eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe erhält man z.B. bei einem Ziehen ohne Zurücklegen und eine einfache Zufallstichprobe z.B. bei einem Ziehen mit Zurücklegen.

Beispiele

Literary Digest Desaster

Das Literary Digest Desaster von 1936 zeigt auf, was passieren kann, wenn keine Zufallsstichprobe aus der Grundgesamtheit gezogen wird. Eine verzerrte Stichprobe führte zu einer vollständig falschen Wahlprognose.

Wahlbefragung

Eine Befragung von Wählern, nachdem sie aus der Wahlkabine kommen, bzgl. ihres Wahlverhaltens ist eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe (wenn kein Befragter die Antwort verweigert) bzgl. der Wähler. Sie ist jedoch keine (uneingeschränkte) Zufallsstichprobe bzgl. der Wahlberechtigten.

Taschenkontrolle

Der Einzelhandel beklagt immer wieder, dass durch Diebstahl von Waren durch eigene Mitarbeiter große Schäden verursacht werden. Deswegen führen größere Supermärkte unter anderem eine Taschenkontrolle durch, wenn Mitarbeiter den Supermarkt verlassen. Da eine vollständige Taschenkontrolle aller Angestellten zu aufwändig wäre (und dies vermutlich auch als Arbeitszeit bezahlt werden müsste), gehen die Angestellten beim Verlassen des Supermarktes durch den Personalausgang an einer Lampe vorbei. Sie zeigt computer-gesteuert entweder ein grünes Licht (Angestellter wird nicht kontrolliert) oder ein rotes Licht (Angestellter wird kontrolliert). Dieser Auswahl ist dann eine einfache Zufallsauswahl.

Zufallsstichproben in der mathematischen Statistik

In der mathematischen Statistik werden die Zufallsvariablen $X_{1}$ bis $X_{n}$ (auch: Stichprobenvariablen) als Zufallsstichproben bezeichnet (siehe zum Beispiel beim Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz). Sie geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei der $i$ten Ziehung mit einem bestimmten Auswahlverfahren ein bestimmtes Element der Grundgesamtheit gezogen werden kann. Die konkrete Stichprobe $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ wird dann als Realisierungen der Zufallsvariablen $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ betrachtet.

Wurde eine einfache Zufallsstichprobe gezogen, so kann man zeigen, dass die Stichprobenvariablen $X_{i}$ unabhängig und identisch verteilt sind (Abkürzung i.i.d., aus dem engl. independent and identically distributed). D.h. der Verteilungstyp und die Verteilungsparameter aller Stichprobenvariablen sind gleich der Verteilung in der Grundgesamtheit (identically distributed), und aufgrund der Unabhängigkeit der Ziehungen sind die Stichprobenvariablen auch unabhängig voneinander (independent). Bei vielen Problemen in der induktiven Statistik wird vorausgesetzt, dass die Stichprobenvariablen i.i.d. sind.

Abhängige und unabhängige Stichproben

Bei Analysen mit mehr als einer Stichprobe muss zwischen abhängigen und unabhängigen Stichproben unterschieden werden. Statt von einer abhängigen Stichprobe spricht man auch von verbundenen Stichproben oder gepaarten Stichproben.

Abhängige Stichproben treten meist bei wiederholten Messungen an dem gleichen Untersuchungsobjekt auf. Zum Beispiel besteht die erste Stichprobe aus Personen vor der Behandlung mit einem bestimmten Medikament, und die zweite Stichprobe aus denselben Personen nach der Behandlung, d.h. die Elemente von zwei (oder mehr) Stichproben können einander jeweils paarweise zugeordnet werden.

Bei unabhängigen Stichproben besteht kein Zusammenhang zwischen den Elementen der Stichproben. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die Elemente der Stichproben jeweils aus unterschiedlichen Population kommen. Die erste Stichprobe besteht beispielsweise aus Frauen, und die zweite Stichprobe aus Männern, oder wenn Personen nach dem Zufallsprinzip in zwei oder mehrere Gruppen aufgeteilt werden.

Formal bedeutet es für die Stichprobenvariablen $X_{ij}$ (mit $i$ das $i$te Untersuchungsobjekt und $j$ die $j$te Messung):

• bei unabhängigen Stichproben: alle Stichprobenvariablen $X_{ij}$ sind unabhängig voneinander.
• bei abhängigen Stichproben: die Stichprobenvariablen der ersten Stichprobe $X_{11},\dotsc ,X_{n1}$ sind unabhängig voneinander, jedoch gibt es eine Abhängigkeit zwischen den Stichprobenvariablen $X_{i1},\dotsc ,X_{ip}$, da sie am gleichen Untersuchungsobjekt $i$ erhoben werden.

Einstufige Zufallsstichproben

→ Hauptartikel: Urnenmodell

Eine reine (auch: einfache) oder uneingeschränkte Zufallsstichprobe kann mittels eines Urnenmodells beschrieben werden. Dazu wird ein fiktives Gefäß mit Kugeln gefüllt, welche anschließend zufällig gezogen werden: Ziehen mit Zurücklegen ergibt eine einfache Zufallsstichprobe, Ziehen ohne Zurücklegen ergibt eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe. Durch ein Urnenmodell lassen sich so verschiedene Zufallsexperimente, etwa eine Lottoziehung, simulieren.

Stichprobenumfang

Der Stichprobenumfang (oft auch Stichprobengröße genannt) U(G) ist die Anzahl der für eine Prüfung benötigten Proben einer Grundgesamtheit G, um statistische Kenngrößen (s1, s2, ..., sn) mit einer vorgegebenen Genauigkeit ẟ mittels Schätzung zu ermitteln.

Ein Stichprobenumfang U(G) soll die folgende Bedingung erfüllen:

(A) es gibt eine Norm N, durch die in dem n-dimensionalen Raum der Kenngrößen ein "Abstand" N($(a),$(b)) zwischen zwei Stichproben $(a) und $(b)definiert wird.

(B) wenn $(a):=(s1(a), s2(a), ..., sn(a)) bzw. $(b):=(s1(b), s2(b), ..., sn(b)) die zu zwei verschiedenen Stichproben (a) und (b) gehörenden statistischen Kenngrössen sind, wobei beide Stichproben den Umfang U(G) besitzen, dann ist N($(a),$(b))<ẟ.

Diese Definition des Stichprobenumfanges ist insbesondere bei Befragungen (z.B. zur Lästigkeit von Verkehrslärm) anzuwenden.

Der Stichprobenumfang wird häufig durch Normen bzw. Erfahrungswerte festgelegt.

Durch eine geeignete Wahl des Stichprobenumfangs sollen systematische Fehler vermieden und statistisch belegbar werden.

Zentrales Schwankungsintervall für einen unbekannten Parameter $\theta$.

Wenn $\theta$ der unbekannte Parameter in der normalverteilten Grundgesamtheit (wie in nebenstehendem Bild) ist, dann wird eine Schätzfunktion $\Theta =\Theta (X_{1},\dotsc ,X_{n})$ in Abhängigkeit von der Stichprobenvariablen $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ konstruiert. Der Erwartungswert der Zufallsvariablen $\Theta$ ist meist $E(\Theta )=\theta$, und es gilt:

$P(\theta -e\leq \Theta \leq \theta +e)=1-\alpha$

mit ${\hat {\theta }}$ eine Punktschätzung des unbekannten Parameters, $e$ der absolute Fehler und $1-\alpha$ die Wahrscheinlichkeit, dass $\Theta$ eine Realisation im zentralen Schwankungsintervall annimmt.

Der absolute Fehler ist gleich $e=c_{1-\alpha /2}{\sqrt {Var(\Theta )}}$, also

$P\left(\theta -c_{\alpha /2}{\sqrt {Var(\Theta )}}\leq \Theta \leq \theta +c_{1-\alpha /2}{\sqrt {Var(\Theta )}}\right)=1-\alpha$

und $c_{1-\alpha /2}\,$ hängt meist vom Verteilungstyp von $\Theta$ ab und die Varianz $Var(\Theta )\propto {\tfrac {1}{n}}$. Die folgende Tabelle gibt für den unbekannten Mittelwert $\mu$ bzw. den unbekannten Anteilswert $\pi$ eine Abschätzung des Stichprobenumfanges an.

Unbekannter Parameter	Bedingung	e		Abschätzung Stichprobenumfang
		$c_{1-\alpha /2}$	${\sqrt {Var(\Theta )}}$
$\mu$	$X_{i}\sim N(\mu ;\sigma )$ und $\sigma$ bekannt	$z_{1-\alpha /2}$	$\sigma /{\sqrt {n}}$	$n\geq {\frac {z_{1-\alpha /2}^{2}\sigma ^{2}}{e^{2}}}$
	$X_{i}\sim N(\mu ;\sigma )$ und $\sigma$ unbekannt	$t_{n-1;1-\alpha /2}$	$s/{\sqrt {n}}$	$n\geq {\frac {t_{n-1;1-\alpha /2}^{2}s^{2}}{e^{2}}}$
	$X_{i}\sim (\mu ;\sigma )$ und $n>30$	$z_{1-\alpha /2}$	$s/{\sqrt {n}}$	$n\geq {\frac {z_{1-\alpha /2}^{2}s^{2}}{e^{2}}}$
$\pi$	$np(1-p)\geq 9$	$z_{1-\alpha /2}$	${\sqrt {p(1-p)/n}}$	$n\geq {\frac {z_{1-\alpha /2}^{2}}{4e^{2}}}\geq {\frac {z_{1-\alpha /2}^{2}p(1-p)}{e^{2}}}$

Beispiel (Wahl)

Benötigte Stichprobenumfänge bei einfacher Zufallsauswahl

Eine Partei hat in einer Umfrage kurz vor der Wahl 6% erreicht. Welchen Umfang muss eine Wählerbefragung am Wahltag mit $1-\alpha =95\%$ Sicherheit haben, damit der wahre Anteilswert mit einer Genauigkeit von $e=1\%$ ermittelt werden kann?

$n\geq {\frac {1{,}96^{2}}{4\cdot 0{,}01^{2}}}=9604$

bzw. etwas genauer

$n\geq {\frac {1{,}96^{2}\cdot 0{,}06\cdot 0{,}94}{0{,}01^{2}}}\approx 2167$.

D. h. bei der etwas genaueren Abschätzung des Stichprobenumfanges für den Anteilswert ergibt sich, dass immer noch 2167 Wähler befragt werden müssen, um mit einer Genauigkeit von 1% das Wahlergebnis zu erhalten. Die Grafik rechts zeigt, welche Stichprobenumfänge nötig sind für einen bestimmten geschätzten Anteilswert und eine gegebene Sicherheit.

Beispiel (Werkstoffprüfung)

In der Werkstoffprüfung ist ein Stichprobenumfang von 10 pro 1000 produzierten Teilen durchaus üblich. Er ist u. a. von der Sicherheitsrelevanz des Bauteils oder des Werkstoffes abhängig. Bei den zerstörenden Prüfungen wie zum Beispiel beim Zugversuch wird versucht, den Prüfaufwand und damit die Stichprobe möglichst klein zu halten. Bei der zerstörungsfreien Prüfung – z. B. bei Bildverarbeitungssystemen für die Vollständigkeitsprüfung – wird häufig eine 100%-Kontrolle durchgeführt, um Fehler in der Produktion möglichst schnell zu erkennen.

Mehrstufige Zufallsauswahl (auch Komplexe Zufallsauswahl)

Insbesondere sind folgende Auswahlverfahren von Bedeutung, wobei die ersten beiden als Zweistufige Auswahlverfahren bezeichnet werden:

• Geschichtete Zufallsstichprobe (stratified sample): Die Elemente werden nach einem bestimmten Merkmal in Gruppen (Untermengen) eingeordnet. Innerhalb jeder dieser Gruppen wird dann eine reine Zufalls-Stichprobe gezogen. Hier wird auf mindestens zwei Ebenen gezogen. Beispielsweise werden auf der ersten Stufe Schulklassen nach einem vorher festgelegten Verfahren gezogen. Danach werden auf der zweiten Stufe die Untersuchungsgegenstände (hier Schüler) gezogen. Als Verfahren kommt die reine Zufalls-Stichprobe als auch ein gewichtetes Verfahren in Frage.
• Klumpen-Stichprobe (cluster sample): Zuerst wird eine (relativ kleine) reine Zufalls-Stichprobe gezogen. Danach werden alle in den gezogenen Elementen enthaltenen Elemente in die Stichprobe aufgenommen. Ein klassisches Beispiel ist die Befragung ganzer Häuserblocks oder von Schulklassen. Zuerst werden die zu befragenden Schulklassen per Zufallsauswahl bestimmt. Dann werden alle in den Schulklassen enthaltenen Schüler befragt. Bei der Klumpenstichprobe tritt der sogenannte Klumpeneffekt auf. Er ist umso größer, je homogener die Elemente innerhalb der Gruppen und heterogener die Gruppen untereinander sind.
• Gestufte Zufallsstichprobe (staged sample): Sie wird häufig aus Gründen der Kostensenkung und Zeitersparnis der Schichtung vorgezogen. Ebenfalls empfiehlt sich die Stufung, wenn eine Auflistung aller Fälle (Untersuchungsgegenstände, Merkmale etc.) der Grundgesamtheit nicht existiert und sich deshalb eine einfach Zufallsstichprobe nicht durchführen lässt (z. B. eine Untersuchung anhand von Texten. Da noch nicht alle Texte elektronisch erfasst bzw. verfügbar sind, entstehen durch das Aufsuchen der jeweiligen Archive hohe Kosten. Durch eine Stufung kann dies vermieden werden). Im Wesentlichen orientiert sich das Vorgehen der Stufung an der Schichtung, indem man:

1. Stufungskriterien (Merkmale) bestimmt,
2. die Grundgesamtheit nach diesen Merkmalen in einander ausschließende Teilgesamtheiten (Primäreinheiten) aufteilt,
3. nun eine zufällige Auswahl der Teilgesamtheiten trifft und sich auf eine bestimmte Anzahl von Primäreinheiten begrenzt, die man untersucht. Die restlichen Teilgesamtheiten werden ignoriert.
4. Aus den zufällig ausgewählten Primäreinheiten ermittelt man nun die Zufallsstichprobe der Merkmalsträger (Objekte, Individuen, Fälle). Ein Institut will bspw. 500 Personen nach ihrem Konsumverhalten befragen. In Schritt 2 wurde die Grundgesamtheit, z. B. anhand geographischer Merkmale, in Ost-, Nord-, Süd- und Westdeutschland aufgeteilt. In Schritt 3 wurde festgelegt, dass das Konsumverhalten in ost- und süddeutschen Supermärkten (Sekundäreinheiten) im Mittelpunkt der Untersuchung steht, so dass in jeder der beiden Regionen 250 Leute (Tertiäreinheiten) befragt werden.
5. Die Teilgesamtheiten (der beiden untersuchten Regionen) werden nun zu einer Gesamtstichprobe zusammengefügt.

• Random-Route-Verfahren

Anwendungsmodelle

• ADM-Design als Kombination von Schichtung und Stufung

Literatur

• Joachim Behnke, Nina Baur, Nathalie Behnke: Empirische Methoden der Politikwissenschaft (= UTB 2695 Grundkurs Politikwissenschaft). Schöningh u. a., Paderborn u. a. 2006, ISBN 3-506-99002-0.

Siehe auch

• Auswahlsatz
• Designeffekt
• EPSEM
• Random-Route
• Schwedenschlüssel