Systematischer Fehler

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Bei der großen Bandbreite des Begriffs Fehler wird in Wissenschaft und Technik unterschieden zwischen einem abrupt auftretenden oder von Anfang bestehenden Schaden und einem gleitenden Unterschied zur Anforderung, der auch als Abweichung bezeichnet wird. Insbesondere in der Messtechnik wird bei einer bestimmungsgemäß betriebenen Messeinrichtung ein Fehler eines Messwertes als Messabweichung bezeichnet.[1] Unter systematischer Fehler oder systematische Abweichung (engl. systematic error) versteht man diejenige Abweichung, die einseitig gerichtetet und durch im Prinzip feststellbare Ursachen bedingt ist.[1] Sie lässt sich bei unter gleichen Bedingungen wiederholten Messungen nicht erkennen. Abweichungen, die bei solchen Wiederholungen zwischen den einzelnen Messwerten auftreten, zeigen dagegen zufällige Abweichungen auf.

Systematische Abweichungen erzeugen also eine Verschiebung nach einer Seite, sie bewirken einen in der Tendenz stets zu hohen oder stets zu niedrigen Messwert.[2][3] Ein typisches Beispiel dafür sind Abweichungen, welche durch falsch justierte Messgeräte entstehen. Die systematische Abweichung eines Messgerätes braucht aber nicht über den ganzen Messbereich konstant zu sein (zum Beispiel bei einem falsch justierten Thermometer, welches hohe Temperaturen zu hoch und niedrige zu niedrig anzeigt.)

Vermeiden kann man eine systematische Abweichung nur bei bekannter Ursache. Die Ursachen bei der Messung können mit einem falsch eingestellten Messgerät, in einer immer wieder in gleicher Weise falschen Ablesung, in der Veränderung der ursprünglichen Wirklichkeit durch das Messgerät, im Einfluss der Umgebung, in der Verwendung eines ungeeigneten Auswerte- oder Messverfahrens und vielem mehr bestehen.

Außerhalb der Messtechnik, beispielsweise im Zusammenhang mit der IEC 61508, werden systematische Fehler auch als "eingebaute" Fehler betrachtet, die in jedem Produkt vorhanden sind. In diesem Sinne gehörte beispielsweise der Pentium-FDIV-Bug zu den systematischen Fehlern, weil die korrekte Abarbeitung einer falsch implementierten Funktion bei jedem produzierten Exemplar des Pentium-Prozessors zu exakt denselben, reproduzierbaren Rechenfehlern führte.

Zur Nomenklatur[Bearbeiten]

Die systematische Messabweichung setzt sich additiv aus einer bekannten und einer unbekannten Abweichung zusammen.[1] Weiter ist zu unterscheiden zwischen einer zeitlich konstanten systematischen Messabweichung, die Offset, Ablage oder ähnlich genannt wird, sowie einem zeitlich ansteigenden/abfallenden Messfehler als Trend (engl. auch bias) oder Drift (z. B. bei langsamer Änderung der Anzeige). Trends und Driften sind durch Wiederholungsmessungen relativ leicht aufzudecken und gehen oft auf unerkannte Temperatureinflüsse zurück.

In Anlehnung ans Englische wird für den systematischen Fehler auch das Wort Bias verwendet, worunter jedoch in der Elektronik auch eine absichtliche und einseitige Vorbeaufschlagung verstanden werden kann.

Ursachen systematischer Abweichungen[Bearbeiten]

Die Ursachen systematischer Abweichungen sind vielfältig. Insbesondere kommen vor:[1]

  • Unvollkommenheit der Messgeräte (Messgeräteabweichung, z. B. unzureichende Justierung, Nichtbeachtung einer Kalibrierung),
  • Einflüsse wie Erwärmung, Abnutzung, Alterung (z. B. lockere Teile am Messgerät, thermische Ausdehnung, Richtungs-Abweichung oder Unrundheit von Achsen),
  • Abweichungen der tatsächlichen Werte der Einflussgrößen von den vorausgesetzten (Einflusseffekte, z. B. Eigenerwärmung, Refraktion, unsymmetrische Wirkungen von Temperatur oder Wind, Vibration im Untergrund),
  • Abweichungen des tatsächlich vorliegenden Messobjektes vom vorausgesetzten,
  • Rückwirkung bei der Erfassung der Messgröße durch das Messgerät (z. B. Rückwirkungsabweichung durch Eigenverbrauch bei elektrischen Messgeräten),
  • durch den Beobachter verursachte Abweichungen (z. B. einseitige Zielfehler, Parallaxefehler); bei Befragungen Antwortverzerrungen,
  • Verwendung einer zum Messergebnis führenden Beziehung zwischen Größen, die der tatsächlichen Verknüpfung dieser Größen nicht entspricht.

Hier nicht einsortierbar sind Verfälschungen durch Irrtümer oder Unachtsamkeit des Beobachters (z. B. falscher Zahlenwert bei der Ablesung), unvorhersehbare Ereignisse (z. B. Stöße) oder das Auftreten grober Fehler, die stets vermeidbar sind.[2][3] Bei einer Ausgleichung lassen sie sich aber meist erkennen, wenn ihr Residuum die 2–3fache Standardabweichung übersteigt.

Einfaches Beispiel: Messung mit einem Lineal[Bearbeiten]

  1. Instrumentell (falsche Skalierung): Liegt ein Lineal oder ein Maßband zu lange in der Sonne, so erwärmt es sich und dehnt sich aus. Wenn nun die Messung durchgeführt wird, so misst man immer etwas zu kurz. Kennt man aber die Temperatur des Lineals und dessen Wärmeausdehnungskoeffizient, so kann man diesen Einfluss rechnerisch beseitigen. Die systematische Abweichung wird nun im Messmodell berücksichtigt und dadurch unschädlich gemacht. Ohne dieses Modell hilft ein Betrieb des Messgerätes bei den Referenzbedingungen, für die es ausgelegt ist. Bei alterungsbedingter Veränderung der Skalenträgers (insbesondere bei Kunststoff) ist eine neue Justierung bei diesem einfachen Beispiel nicht möglich. Allenfalls durch eine Kalibrierung kann man einen Faktor bestimmen, um den der jeweils abgelesene Wert zu korrigieren ist.
  2. Falsche Handhabung: Legt man andererseits das Lineal beim Messen schräg an das Werkstück, so wird nun die Ablesung systematisch verfälscht. Kennt man aber den Winkel, um den das Lineal falsch angelegt (oder schief darauf geblickt) wurde, so kann man dies durch eine Winkelrechnung berücksichtigen.
  3. Ungünstige Umstände: Dazu könnte ein unebener oder rutschender Untergrund, ein störender Schattenwurf der Skale und ähnliches zählen. Hier kann man rechnerisch nicht viel korrigieren, sondern sollte die Messung unter anderen Umgebungsbedingungen wiederholen.

Innere und äußere Genauigkeit[Bearbeiten]

Im Fehlermaß „äußere Genauigkeit“ werden systematische Fehler im Allgemeinen als inkludiert verstanden, während die „innere Genauigkeit“ meist der Standardabweichung (mittlerer Fehler) beim bloßen Wiederholen der Messung entspricht. Der Unterschied zwischen beiden kommt ans Licht teilweise beim Wechsel des Messgerätes (siehe 1), des Beobachters (2) oder der äußeren Umstände (3), etwa der Wetterlage.

So hat eine astronomische Breitenbestimmung mit Sternen und einem Passageninstrument oder einem digitalen Astrolabium eine (innere) Genauigkeit von ±0,1“, kann aber von einer Nacht zur nächsten um 0,5“ variieren. Der Grund solcher „Abendfehler“ liegt in Anomalien der atmosphärischen Schichten (Astronomische Refraktion, Kuppel- bzw. Saalrefraktion) oder in kleinen Temperatureffekten, beispielsweise bei der Fernrohrbiegung.

Umgang mit der systematischen Messabweichung[Bearbeiten]

Die Bestimmung systematischer Fehler einer Messung ist

  1. Detektivarbeit, bei der man Fehlerquellen aufdecken muss,
  2. physikalisch-philosophische Überlegung, ob die Unkenntnis innerhalb oder außerhalb des theoretischen Rahmens liegt,
  3. professionelle Datenanalyse, bei der die Fehler in ihrer Wichtigkeit priorisiert werden und eventuell geeignete Korrektoren eingeführt werden.[4]

Eine zeitlich konstante systematische Abweichung lässt sich durch Wiederholung nicht feststellen oder beeinflussen; man muss die bekannte Abweichung

  • durch Justierung verringern oder eliminieren oder
  • durch Einhaltung der zulässigen Umgebungsbedingungen verhindern,
  • durch geänderten Messaufbau vermeiden (z. B. mit zwei Kreislagen am Theodolit oder durch Kompensation),
  • durch Auswertung berücksichtigen (siehe Reduktion (Messung)),
  • in Kauf nehmen und bei anzugebenden Toleranzen bzw. Fehlergrenzen berücksichtigen.

Eine unbekannte systematische Messabweichung ist nur mit ausreichender Erfahrung schätzbar und durch Intervalle eingrenzbar.

Beispiele für zeitkonstante unbekannte systematische Fehler

  • die nur mit endlicher Genauigkeit realisierbare mechanische Justierung eines Messgerätes auf einen Referenzwert,
  • Wärmeableitung durch ein Thermometerschutzrohr an einer Stelle, an der die Temperatur gemessen werden soll.

Für den unbekannten sowie den im Prinzip feststellbaren, aber im Einzelnen nicht festgestellten Messfehler (bzw. für die Messabweichung) F gibt man eine Fehlergrenze (bzw. einen Abweichungsgrenzbetrag) G an derart, dass |F|\le G ist. Dabei ist G definitionsgemäß vorzeichenlos.[1]

Bei einem driftenden Messgerät unterliegen die Messabweichungen einem Trend,– anders als bei zufälligen Abweichungen, die ungeordnet streuen. Zu dessen Aufdeckung sind, im Gegensatz zu zeitkonstanten systematischen Abweichungen, Wiederholungsmessungen als Zeitreihe erforderlich.

In anderem Zusammenhang hat die Statistik für die Behandlung von Zeitreihen, beispielsweise Börsenkursen, eigene, gänzlich andere Verfahren entwickelt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b c d e DIN 1319-1, Grundlagen der Messtechnik – Teil 1: Grundbegriffe. 1995
  2. a b Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2. Vieweg + Teubner, 6. Aufl. 2011, S. 651
  3. a b Georg Streck: Einführung in die Statistik für Geoökologen und andere Naturwissenschaftler. Books on Demand 2004, S. 159
  4. Martin Erdmann, Thomas Hebbeker: Experimentalphysik 5: Moderne Methoden der Datenanalyse. Springer 2013, S. 139