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Version vom 23. August 2012, 19:18 Uhr

Als CES-Funktion (kurz für englisch constant elasticity of substitution – „konstante Substitutionselastizität“) bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre eine Klasse von Funktionen, die sich dadurch auszeichnen, dass sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches dieselbe Substitutionselastizität aufweisen. Diese Eigenschaft ist in einer Vielzahl von ökonomischen Anwendungen – sei es im mikro- oder im makroökonomischen Bereich – vorteilhaft. Für bestimmte Paramterkonstellationen gehen aus der allgemeinen CES-Funktion überdies spezielle Funktionsklassen hervor, die ebenfalls weitläufig Gebrauch finden.

In der wissenschaftlichen Praxis finden CES-Funktionen unter anderem als Nachfragefunktionen (CES-Nachfragefunktion), Nutzenfunktionen (CES-Nutzenfunktion) und Produktionsfunktion (CES-Produktionsfunktion) Verwendung.

Definition

Als CES-Funktion bezeichnet man allgemein eine Funktion

z=\beta \cdot \left[\alpha _{1}x_{1}^{-\rho }+\alpha _{2}x_{2}^{-\rho }+\ldots +\alpha _{n}x_{n}^{-\rho }\right]^{-\gamma /\rho }

mit $\beta ,\gamma >0$ ; $x_{i}>0$ und $\alpha _{i}>0$ für alle $i=1,\ldots ,n$ sowie $\rho \neq 0$ .^[1]

Dabei ist (aus noch zu erläuternden Gründen) $\gamma$ der Homogenitätsgrad der Funktion und $\rho$ die Substitutionselastizität. Fast immer setzt man $\beta =1$ und in der Regel auch $\gamma =1$ .

Unterschiedliche Verwendungszwecke

Nutzt man die Funktion als Produktionsfunktion, bezeichnet man sie regelmäßig mit y (statt z), um auszudrücken, dass sie die produzierte Menge eines Gutes anzeigt. Die $x_{i}$ stehen dann für die Menge des eingesetzten Inputfaktors i, wobei es eben n Inputfaktoren gibt. Häufig verwendet wird so beispielsweise die Zwei-Faktoren-CES-Produktionsfunktion $y=\left[\alpha _{1}K^{-\rho }+\alpha _{2}L^{-\rho }\right]^{-1/\rho }$ (bisweilen auch mit der Vorgabe $\alpha _{1}+\alpha _{2}=1$ ^[2]), wobei K für den Kapital- und L für den Arbeitseinsatz steht; in einer von Robert Solow im Feld der Wachstumstheorie eingeführten Version ist $y=(\alpha K^{\rho }+L^{\rho })^{1/\rho }$ ^[3].

Bei der Verwendung als Nutzenfunktion (in der Regel u) bezeichnet $x_{i}$ die Menge des konsumierten Gutes i.

Eigenschaften

Es lässt sich zeigen, dass die CES-Funktion im definierten Sinne gerade homogen vom Grade $\gamma$ ist.^[4] Weiterhin ist sie für $\rho \leq -1$ quasikonvex^[5], für $\rho \geq -1$ quasikonkav. Für $0<\gamma \leq 1$ und zugleich $\rho \geq -1$ ist sie überdies konkav und für $0<\gamma <1$ , $\rho >-1$ sogar strikt konkav.

Spezialfälle

Es kann gezeigt werden, dass die CES-Funktion für $\rho \rightarrow 0$ in eine Funktion vom Cobb-Douglas-Typ ( $\sigma =1$ ) und für $\rho \rightarrow \infty$ in eine Leontief-Funktion ( $\sigma =0$ ) übergeht.^[6]

Spezifische Paramterkonstellationen erlauben weitere Präzisierungen. So ist beispielsweise $z=\left[\alpha _{1}x_{1}^{-\rho }+\ldots +\alpha _{n}x_{n}^{-\rho }\right]^{-1/\rho }$ mit $\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}=1$ vom CES-Typ mit Substitutionselastizität $\sigma =1/(1+p)$ . Für $\rho \rightarrow 0$ konvergiert $\sigma \rightarrow 1$ und z reduziert sich zur linear-homogenen Cobb-Douglas-Funktion $z=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}$ . Für $\rho \rightarrow \infty$ folgt wiederum $\sigma \rightarrow 0$ und es ergibt sich im Grenzwert die Leontief-Funktion $z=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ .^[7]

Literatur

Kenneth Arrow, H. B. Chenery, B. S. Minhas und Robert Solow: Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency. In: Review of Economics and Statistics. 43, Nr. 3, 1961, S. 225–250.
Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
Carl P. Simon und Lawrence Blume: Mathematics for Economists. W. W. Norton, New York und London 1994, ISBN 0-393-95733-0.
Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Berck: Economists’ mathematical manual. 4. Aufl. Springer, Berlin u.a. 2005, ISBN 978-3-540-26088-2 (auch als E-Book: doi:10.1007/3-540-28518-0).
Knut Sydsæter u.a.: Further mathematics for economic analysis. 2. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9.
Hal Varian: Microeconomic Analysis. W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.
Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: Grundlagen der Mikroökonomik. Springer, Heidelberg u.a. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8. [S. 127–131]

Einzelnachweise

↑ Die hiesige Definition folgt Sydsæter u.a. 2008, S. 72 und Simon/Blume 1994, S. 275. Bei ihr handelt es sich um eine generalisierte Form; vielfach werden auch bereits bestimmte Eigenschaften vorausgesetzt. So beschränkt sich der weit überwiegende Teil der Literatur auf den Fall mit $\beta =1$ (Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166; Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97) und üblicherweise ist auch $\gamma =1$ (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97); bisweilen wird überdies nur der Fall mit $\alpha _{i}=1$ betrachtet (Jehle/Reny 2011, S. 130). Regelmäßig wird in der Funktion auch $\rho$ statt $-\rho$ verwendet (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97; wie hier Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166 und Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128); daraus ergibt sich jedoch lediglich ein interpretatorischer Unterschied infolge abweichender Elastizitätsdefinitionen.
↑ Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128.
↑ Robert M. Solow: A Contribution to the Theory of Economic Growth. In: The Quarterly Journal of Economics. 70, Nr. 1, 1956, S. 65–94 (JSTOR).
↑ Zu dieser und den folgenden Eigenschaften vgl. Sydsæter u.a. 2008, S. 72 (dort auch mit Beweisen) und Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166.
↑ Diese Eigenschaft ist freilich nicht von nennenswerter praktischer Relevanz; im Fall $\rho <-1$ würde die CES-Technologie dann nämlich konkave Isoquanten implizieren, was wenig plausibel erscheint.
↑ Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128 ff. für den Fall $n=2$ und $\alpha _{1}+\alpha _{2}=1$ .
↑ Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 131.

[1] Die hiesige Definition folgt Sydsæter u.a. 2008, S. 72 und Simon/Blume 1994, S. 275. Bei ihr handelt es sich um eine generalisierte Form; vielfach werden auch bereits bestimmte Eigenschaften vorausgesetzt. So beschränkt sich der weit überwiegende Teil der Literatur auf den Fall mit $\beta =1$ (Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166; Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97) und üblicherweise ist auch $\gamma =1$ (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97); bisweilen wird überdies nur der Fall mit $\alpha _{i}=1$ betrachtet (Jehle/Reny 2011, S. 130). Regelmäßig wird in der Funktion auch $\rho$ statt $-\rho$ verwendet (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97; wie hier Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166 und Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128); daraus ergibt sich jedoch lediglich ein interpretatorischer Unterschied infolge abweichender Elastizitätsdefinitionen.

[2] Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128.

[3] Robert M. Solow: A Contribution to the Theory of Economic Growth. In: The Quarterly Journal of Economics. 70, Nr. 1, 1956, S. 65–94 (JSTOR).

[4] Zu dieser und den folgenden Eigenschaften vgl. Sydsæter u.a. 2008, S. 72 (dort auch mit Beweisen) und Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166.

[5] Diese Eigenschaft ist freilich nicht von nennenswerter praktischer Relevanz; im Fall $\rho <-1$ würde die CES-Technologie dann nämlich konkave Isoquanten implizieren, was wenig plausibel erscheint.

[6] Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128 ff. für den Fall $n=2$ und $\alpha _{1}+\alpha _{2}=1$ .

[7] Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 131.

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+Als '''CES-Funktion''' (kurz für englisch ''constant elasticity of substitution'' – „konstante Substitutionselastizität“) bezeichnet man in der [[Volkswirtschaftslehre]] eine Klasse von Funktionen, die sich dadurch auszeichnen, dass sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches dieselbe [[Substitutionselastizität]] aufweisen. Diese Eigenschaft ist in einer Vielzahl von ökonomischen Anwendungen – sei es im [[Mikroökonomik|mikro-]] oder im [[Makroökonomik|makroökonomischen]] Bereich – vorteilhaft. Für bestimmte Paramterkonstellationen gehen aus der allgemeinen CES-Funktion überdies spezielle Funktionsklassen hervor, die ebenfalls weitläufig Gebrauch finden.
-Die '''CES-Produktionsfunktion''' (''constant elasticity of substitution'') ist eine [[Produktionsfunktion]], deren [[Substitutionselastizität]] stets den gleichen Wert annimmt. Diese Eigenschaft ist in vielen [[Ökonomie|ökonomischen]] Anwendungen vorteilhaft.
-Im Allgemeinen lautet sie:
+In der wissenschaftlichen Praxis finden CES-Funktionen unter anderem als [[Nachfragefunktion]]en '''(CES-Nachfragefunktion),''' [[Nutzenfunktion]]en '''(CES-Nutzenfunktion)''' und [[Produktionsfunktion]] '''(CES-Produktionsfunktion)''' Verwendung.
-<math>\mathbb{R}^n\longmapsto\mathbb{R}^1, n\geq1, f(v) = a_0 \left(\sum_{j=1}^n a_j v_j^{b_j}\right)^{-\frac{h}{c}}</math> oder kürzer:
+== Definition ==
-<math>\mathbb{R}^n\longmapsto\mathbb{R}^1: f(v) = \operatorname{CES}(v_1, v_2, ... , v_n) = \operatorname{CES}</math>
+{{Kasten|1=
+Als '''CES-Funktion''' bezeichnet man allgemein eine Funktion
+:<math>z=\beta\cdot \left[\alpha_{1}x_{1}^{-\rho}+\alpha_{2}x_{2}^{-\rho}+\ldots+\alpha_{n}x_{n}^{-\rho}\right]^{-\gamma /\rho}</math>
+mit <math>\beta,\gamma>0</math>; <math>x_{i}>0</math> und <math>\alpha_{i}>0</math> für alle <math>i=1,\ldots,n</math> sowie <math>\rho\neq0</math>.<ref>Die hiesige Definition folgt Sydsæter u.a. 2008, S. 72 und Simon/Blume 1994, S. 275. Bei ihr handelt es sich um eine generalisierte Form; vielfach werden auch bereits bestimmte Eigenschaften vorausgesetzt. So beschränkt sich der weit überwiegende Teil der Literatur auf den Fall mit <math>\beta = 1</math> (Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166; Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97) und üblicherweise ist auch <math>\gamma =1</math> (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97); bisweilen wird überdies nur der Fall mit <math>\alpha_i =1</math> betrachtet (Jehle/Reny 2011, S. 130). Regelmäßig wird in der Funktion auch <math>\rho</math> statt <math>-\rho</math> verwendet (Varian 1992, S. 19; Jehle/Reny 2011, S. 130; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 97; wie hier Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166 und Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128); daraus ergibt sich jedoch lediglich ein interpretatorischer Unterschied infolge abweichender Elastizitätsdefinitionen.</ref>}}Dabei ist (aus noch zu erläuternden Gründen) <math>\gamma</math> der Homogenitätsgrad der Funktion und <math>\rho</math> die Substitutionselastizität. Fast immer setzt man <math>\beta = 1</math> und in der Regel auch <math>\gamma =1</math>.
+;Unterschiedliche Verwendungszwecke
-Wenn <math>b_j=-c</math> gesetzt wird, dann wird in <math>c</math> die Substitutionselastizität <math>s</math> ausgedrückt: <math>c=\frac {1-s} {s}</math>
+Nutzt man die Funktion als Produktionsfunktion, bezeichnet man sie regelmäßig mit ''y'' (statt ''z''), um auszudrücken, dass sie die produzierte Menge eines Gutes anzeigt. Die <math>x_{i}</math> stehen dann für die Menge des eingesetzten Inputfaktors ''i,'' wobei es eben ''n'' Inputfaktoren gibt. Häufig verwendet wird so beispielsweise die Zwei-Faktoren-CES-Produktionsfunktion <math>y=\left[\alpha_{1}K^{-\rho}+\alpha_{2}L^{-\rho}\right]^{-1/\rho}</math> (bisweilen auch mit der Vorgabe <math>\alpha_{1}+\alpha_{2}=1</math><ref>Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128.</ref>), wobei ''K'' für den Kapital- und ''L'' für den Arbeitseinsatz steht; in einer von [[Robert Solow]] im Feld der Wachstumstheorie eingeführten Version ist <math>y=(\alpha K^{\rho}+L^{\rho})^{1/\rho}</math><ref>Robert M. Solow: ''A Contribution to the Theory of Economic Growth.'' In: ''The Quarterly Journal of Economics.'' 70, Nr. 1, 1956, S. 65–94 ([http://www.jstor.org/stable/1884513 JSTOR]).</ref>.
+Bei der Verwendung als Nutzenfunktion (in der Regel ''u'') bezeichnet <math>x_{i}</math> die Menge des konsumierten Gutes ''i.''
-<math>h</math> gibt den Grad der Homogenität an. Bei <math>h=1</math> ist die Funktion linear homogen, d.h. bei einer Verdoppelung aller Inputfaktoren verdoppelt sich auch der Output. Bei <math>h=2</math> führt eine Verdopplung aller Inputfaktoren zu einer Vervierfachung des Outputs. Allgemein gilt: <math>f(v*k)=f(v)*k^h</math>, wobei k ein Skalar (also kein Vektor wie <math>v</math>) ist.
+== Eigenschaften ==
+Es lässt sich zeigen, dass die CES-Funktion im definierten Sinne gerade [[Homogene Funktion|homogen]] vom Grade <math>\gamma</math> ist.<ref>Zu dieser und den folgenden Eigenschaften vgl. Sydsæter u.a. 2008, S. 72 (dort auch mit Beweisen) und Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166.</ref> Weiterhin ist sie für <math>\rho\leq -1</math> [[Quasikonvexe Funktion|quasikonvex]]<ref>Diese Eigenschaft ist freilich nicht von nennenswerter praktischer Relevanz; im Fall <math>\rho <-1</math> würde die CES-Technologie dann nämlich konkave [[Isoquante]]n implizieren, was wenig plausibel erscheint.</ref>, für <math>\rho\geq -1</math> [[Quasikonvexe Funktion|quasikonkav]]. Für <math>0<\gamma\leq 1</math> und zugleich <math>\rho\geq -1</math> ist sie überdies [[Konvexe und konkave Funktionen|konkav]] und für <math>0<\gamma <1</math>, <math>\rho >-1</math> sogar strikt konkav.
 == Spezialfälle ==
+Es kann gezeigt werden, dass die CES-Funktion für <math>\rho\rightarrow 0</math> in eine Funktion vom [[Cobb-Douglas-Funktion|Cobb-Douglas-Typ]] (<math>\sigma = 1</math>) und für <math>\rho\rightarrow \infty</math> in eine [[Leontief-Produktionsfunktion|Leontief-Funktion]] (<math>\sigma = 0</math>) übergeht.<ref>Vgl. beispielsweise Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 128 ff. für den Fall <math>n=2</math> und <math>\alpha_{1}+\alpha_{2}=1</math>.</ref>
+Spezifische Paramterkonstellationen erlauben weitere Präzisierungen. So ist beispielsweise <math>z=\left[\alpha_{1}x_{1}^{-\rho}+\ldots+\alpha_{n}x_{n}^{-\rho}\right]^{-1/\rho}</math> mit <math>\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}=1</math> vom CES-Typ mit Substitutionselastizität <math>\sigma=1/(1+p)</math>. Für <math>\rho\rightarrow0</math> konvergiert <math>\sigma\rightarrow1</math> und ''z'' reduziert sich zur linear-homogenen Cobb-Douglas-Funktion <math>z=x_{1}^{\alpha_{1}}\cdot\ldots\cdot x_{n}^{\alpha_{n}}</math>. Für <math>\rho\rightarrow\infty</math> folgt wiederum <math>\sigma\rightarrow0</math> und es ergibt sich im Grenzwert die Leontief-Funktion <math>z=\min\{x_{1},\ldots,x_{n}\}</math>.<ref>Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 131.</ref>
-Die [[Cobb-Douglas-Funktion]] ist eine CES-Funktion, in der die Substitutionselastizität gleich eins ist.
-Die [[Leontief-Produktionsfunktion|Leontief-Funktion]] ist eine CES-Funktion, in der die Substitutionselastizität konstant null ist.
-Obwohl die beiden genannten Fälle Spezialfälle der CES-Funktion darstellen, wird in der Literatur oftmals unterschieden zwischen CES und Cobb-Douglas beziehungsweise Walras-Leontief.
-== Entwickler ==
-Sie wurde 1961 von der ''Stanford-Gruppe'', also von [[Kenneth Arrow]], Chenery, Minhas und [[Robert Merton Solow]], entwickelt.
 == Literatur ==
+* [[Kenneth Arrow]], H. B. Chenery, B. S. Minhas und [[Robert Solow]]: ''Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency.'' In: ''Review of Economics and Statistics.'' 43, Nr. 3, 1961, S. 225–250.
+* Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: ''Advanced Microeconomic Theory.'' 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
+* Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: ''Microeconomic Theory.'' Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
+* Carl P. Simon und Lawrence Blume: ''Mathematics for Economists.'' W. W. Norton, New York und London 1994, ISBN 0-393-95733-0.
+* Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Berck: ''Economists’ mathematical manual.'' 4. Aufl. Springer, Berlin u.a. 2005, ISBN 978-3-540-26088-2 (auch als E-Book: {{DOI|10.1007/3-540-28518-0}}).
+* Knut Sydsæter u.a.: ''Further mathematics for economic analysis.'' 2. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9.
+* [[Hal Varian]]: ''Microeconomic Analysis.'' W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.
+* Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: ''Grundlagen der Mikroökonomik.'' Springer, Heidelberg u.a. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8. [S. 127–131]
+== Einzelnachweise ==
-* [[Kenneth Arrow]]; H.B. Chenery; B.S. Minhas; [[Robert Merton Solow]]: ''Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency.'' In: ''Review of Economics and Statistics.'' Vol. 43, 1961, S. 225–250
+<references />
-* [[Hans-Rimbert Hemmer]], Michael Frenkel: ''Grundlagen der Wachstumstheorie.'', Verlag Vahlen, München 1999, S. 35–36 und 58–64, ISBN 3-8006-2396-x
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