Homogene Funktion

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Eine mathematische Funktion heißt homogen vom Grad n, wenn bei proportionaler Änderung aller Variablen um den Proportionalitätsfaktor \alpha sich der Funktionswert um den Faktor \alpha^n ändert.

Funktionen dieses Typs sind zum Beispiel in den Wirtschaftswissenschaften und in den Naturwissenschaften wichtig.

Definition[Bearbeiten]

Eine Funktion auf dem k-dimensionalen reellen Vektorraum

\Phi \colon \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}

heißt homogen vom Grad n genau dann, wenn für alle \alpha,x_i\in\mathbb{R}

 \Phi(\alpha x_1,\ldots,\alpha x_k) = \alpha^n\cdot \Phi(x_1,\ldots,x_k)

gilt.

Beispiele aus den Wirtschaftswissenschaften[Bearbeiten]

Individuelle Nachfragefunktionen x=x(p,E) stellen einen Zusammenhang zwischen Preisen p, Einkommen E und den nachgefragten Mengen x nach den Gütern dar. Kommt es z. B. im Zuge einer Währungsumstellung (von DM zu Euro) zu einer betragsmäßigen Halbierung aller Preise und der Einkommen und wird dieses von den Individuen vollständig berücksichtigt (Freiheit von Geldwertillusion), so werden sich die nachgefragten Mengen nicht ändern. Das heißt es gilt

\alpha^0 x=x(\alpha p,\alpha E)

Nachfragefunktionen sind somit homogen vom Grad Null in den Variablen Preise und Einkommen (Nullhomogenität).

Produktionsfunktionen y=f(x_1,\dots, x_n) stellen einen Zusammenhang zwischen Inputs x_i und dem zugehörigen Output y her. Kommt es dann eventuell in der Chemieproduktion jeweils bei proportionalen Änderung (z. B. Verdoppelung) aller Inputs zu einer entsprechenden proportionalen Änderung (Verdoppelung) des Outputs so gilt:

\alpha^1 y=f(\alpha x_1,\dots,\alpha x_n)

Eine solche Produktionsfunktion wäre dann homogen mit dem Homogenitätsgrad 1 (linear homogen).

Positive Homogenität[Bearbeiten]

Schwächt man die Definition derart ab, dass man die Bedingung

 \Phi(\alpha x_1,\ldots,\alpha x_k) = \alpha^n\cdot \Phi(x_1,\ldots,x_k)

nur für positive  \alpha fordert, so nennt man die Funktion positiv homogen (vom Grad n).

Für solche Funktionen gibt der Eulersche Satz (oder Euler-Theorem) über positiv homogene Funktionen eine äquivalente Charakterisierung an:

n\cdot \Phi(x_1,\ldots,x_k) = \sum_{i=1}^k \frac{\partial\Phi}{\partial x_i}\cdot x_i \;\;\Leftrightarrow\;\; n\cdot \Phi(\vec{x}) = \vec{x}\cdot\nabla\Phi(\vec{x})

Eine positiv homogene Funktion kann also auf einfache Weise durch die partiellen Ableitungen und Koordinaten dargestellt werden.

Diese Tatsache wird in der Physik sehr häufig benutzt, vor allem in der Thermodynamik, da die dort auftretenden intensiven und extensiven Zustandsgrößen homogene Funktionen nullten bzw. ersten Grads sind. Konkret benutzt man dies z. B. in der Herleitung der Euler-Gleichung für die innere Energie.

In den Wirtschaftswissenschaften folgt aus dem Euler'schen Theorem für Produktionsfunktionen vom Homogenitätsgrad 1 bei den Faktorpreisen q_i und dem Güterpreis p

y= f(x_1,\ldots,x_k) = \sum_{i=1}^k \frac{\partial f}{\partial x_i}\cdot x_i  = \sum_{i=1}^k \frac{q_i}{p}\cdot x_i \;\;\Rightarrow\;\; p\cdot y = \sum_{i=1}^k q_i\cdot  x_i.

Bei linear homogenen Produktionsfunktionen ist der Wert des Produkts gleich den Faktorkosten (Ausschöpfungstheorem).

Herleitung des Euler-Theorems[Bearbeiten]

Sei \Phi : \mathbb R^k \to \mathbb R eine positiv homogene Funktion n-ten Grades, sodass  \Phi(\alpha x_1,\ldots,\alpha x_k) = \alpha^n\cdot \Phi(x_1,\ldots,x_k) mit x_i \in \mathbb R, \alpha\in\mathbb R^+.


Konstruiere nun g: \mathbb R^k \to \mathbb R^k;\quad x \mapsto g(x) = \alpha x.


Damit ergibt sich:

\begin{align}\Phi(g(x_1, \ldots, x_k)) &= \alpha^n \cdot \Phi(x_1, \ldots, x_k)\\
\frac{\partial}{\partial x_j} \Phi(g(x_1, \ldots, x_k)) &= \frac{\partial}{\partial x_j} \left(\alpha^n \cdot \Phi(x_1, \ldots, x_k)\right)\\
&= \alpha^n \cdot \frac{\partial\Phi}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_k)\end{align}

Da für die i-te Komponente g_i von g gilt:

\frac{\partial g_i}{\partial x_j} (x_1, \ldots, x_k) = \begin{cases}\alpha, \quad i=j\\0, \quad i\neq j\end{cases},

folgt mit der Kettenregel:

\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x_j} \Phi(g(x_1, \ldots, x_k)) &= \sum^k_{i=1} \frac{\partial \Phi}{\partial g_i}(g(x_1, \ldots, x_k)) \cdot \frac{\partial g_i}{\partial x_j} (x_1, \ldots, x_k) = \frac{\partial \Phi}{\partial g_j} \cdot \alpha\\
\Rightarrow \frac{\partial \Phi}{\partial g_j} \cdot \alpha &= \alpha^n \cdot \frac{\partial\Phi}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_k)\\
\Rightarrow \frac{\partial \Phi}{\partial g_j} &= \alpha^{n-1} \cdot \frac{\partial\Phi}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_k)
\end{align}

Dieser Ausdruck lässt sich verwenden, wenn die Ausgangsgleichung partiell nach \alpha abgeleitet wird.

\begin{align}
\frac{\partial}{\partial \alpha} \Phi(g(x_1, \ldots, x_k)) &= \frac{\partial}{\partial \alpha} \left(\alpha^n \cdot \Phi(x_1, \ldots, x_k)\right)\\
&= n \cdot \alpha^{n-1} \cdot \Phi(x_1, \ldots, x_k)\end{align}

Da \frac{\partial g_j}{\partial \alpha} (x_1, \ldots, x_k) = x_j, folgt:

\begin{align}
\frac{\partial}{\partial \alpha} \Phi(g(x_1, \ldots, x_k)) &= \sum^k_{j=1} \frac{\partial \Phi}{\partial g_j}(g(x_1, \ldots, x_k)) \cdot \frac{\partial g_j}{\partial \alpha} (x_1, \ldots, x_k)\\
&= \sum^k_{j=1} \frac{\partial \Phi}{\partial g_j}(g(x_1, \ldots, x_k)) \cdot x_j\\
&= \sum^k_{j=1} \alpha^{n-1} \cdot \frac{\partial\Phi}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_k) \cdot x_j\\
&= \alpha^{n-1} \cdot \sum^k_{j=1} \frac{\partial\Phi}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_k) \cdot x_j\\
\Rightarrow n \cdot \alpha^{n-1} \cdot \Phi(x_1, \ldots, x_k) &= \alpha^{n-1} \cdot \sum^k_{j=1} \frac{\partial\Phi}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_k) \cdot x_j
\end{align}

Es folgt das Euler-Theorem:

n \cdot \Phi(x_1, \ldots, x_k) = \sum^k_{j=1} \frac{\partial\Phi}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_k) \cdot x_j

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]