Cobb-Douglas-Funktion

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Als Cobb-Douglas-Funktion bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre eine Klasse von Funktionen, die häufig zur Formulierung von Nutzen- und Produktionsfunktionen verwendet wird. Dabei erstreckt sich das Anwendungsgebiet sowohl auf mikro- als auch auf makroökonomische Applikationen.

Geschichtlicher Hintergrund[Bearbeiten]

Paul Howard Douglas

Die Cobb-Douglas-Funktion basiert auf Erkenntnissen, die Johann Heinrich von Thünen bereits in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts in der Landwirtschaft sammelte. Mit seiner Pro-Kopf-Kapitalertragsfunktion  p = h \cdot q^n mit h als Niveauparameter, p und q als Ertrag bzw. Kapitaleinsatz je Arbeiter und n als Substitutionselastizität des Kapitals hat er die erste indirekt formulierte Cobb-Douglas-Produktionsfunktion entwickelt.

In der Geschichte der Cobb-Douglas-Funktion werden oft zwei frühe Arbeiten zitiert: Coordination of the Laws of Distribution (1894) von Philip Wicksteed und Lectures (1901) von Knut Wicksell (oder Ekonomisk Tidskrift, 1900). Trotz dieser Veröffentlichungen lässt sich zeigen, dass Wicksell seinen funktionalen Zusammenhang schon 1895 implizit und ab 1900 explizit benutzte.[1][2]

Es gelang somit dem schwedischen Ökonomen Knut Wicksell (1851–1926) die Zusammenhänge zwischen Input und Output bei einer vorhandenen Substitutionselastizität als Produktionsfunktion in der heute bekannten Form zu formulieren.

Der US-amerikanische Ökonom Paul Howard Douglas begann 1927 mit einer ersten Formulierung der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion. Douglas befasste sich am Beispiel des produzierenden Gewerbes in den USA zwischen 1899 und 1922 empirisch mit der Frage, welcher Zusammenhang zwischen der dortigen Produktion (Y) und dem Kapitalstock (K) sowie die Anzahl der beschäftigten Arbeiter (L) besteht. Auf der Suche nach einer funktionalen Beschreibung dieses Zusammenhangs – einer so genannten Produktionsfunktion –, besprach er sich mit einem Kollegen, dem Mathematiker Charles Wiggins Cobb, der ihm die zuvor bereits von Wicksell und Wicksteed benutzte Funktion

Y = bL^kK^{1-k}

vorschlug.[3]

1928[4] errechneten sie mittels der Methode der kleinsten Quadrate für k – die so genannte Produktionselastizität der Arbeit – einen Wert von 0.75; das Ergebnis konnte später auch vom National Bureau of Economic Research mit einem Wert von 0.741 approximativ repliziert werden.[3]

Definition[Bearbeiten]

Als Cobb-Douglas-Funktion bezeichnet man allgemein eine Funktion z:\mathbb{R}_{+}^{n}\to\mathbb{R}_{+}, gegeben durch

z(x_{i},\ldots,x_{n})=\beta\cdot\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha_{i}}=\beta\cdot x_{1}^{\alpha_{1}}\cdot\ldots\cdot x_{n}^{\alpha_{n}}

mit \beta>0; x_{i}>0 und \alpha_{i}>0 für alle i=1,\ldots,n.[5]

Regelmäßig wird in der Literatur auf den Niveauparameter \beta verzichtet (bzw. gleich \beta=1 angenommen), da dieser bei entsprechender Skalierung der anderen Faktoren obsolet wird.[6]

Eine, insbesondere im Zwei-Güter-Fall der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion üblicherweise anzutreffende Einschränkung sieht vor, dass sich die Exponenten gerade zu eins aufsummieren, dass also mithin \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}=1.[7] Diese Annahme gewährleistet, wie sich zeigen lässt, dass die Funktion konstante Skalenerträge aufweist. Ihre Rechtfertigung liegt darin, dass ordinale Nutzenfunktionen nach Voraussetzung beliebig positiv monoton transformiert werden können; es lässt sich nun aber gerade zeigen, dass für beliebige \alpha_{1},\alpha_{2} > 0 eine Transformation gefunden werden kann, nach der die Summe der Exponenten tatsächlich eins beträgt.[8]

Unterschiedliche Verwendungszwecke

Nutzt man die Funktion als Produktionsfunktion, bezeichnet man sie regelmäßig mit y (statt z), um auszudrücken, dass sie die produzierte Menge eines Gutes anzeigt. Die x_{i} stehen dann für die Menge des eingesetzten Inputfaktors i, wobei es n Inputfaktoren gibt. Häufig verwendet wird so beispielsweise die Zwei-Faktoren-Cobb-Douglas-Produktionsfunktion y=\beta L^{\alpha_{1}}K^{\alpha_{2}} (bisweilen vereinfacht zu y=L^{\alpha}K^{1-\alpha} mit 0<\alpha<1), wobei K für den Kapital- und L für den Arbeitseinsatz steht.

Bei der Verwendung als Nutzenfunktion (in der Regel u) bezeichnet x_{i} die Menge des konsumierten Gutes i. Für den Zwei-Güter-Fall verwendet man zumeist die Form u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha}x_{2}^{1-\alpha}; wegen der monotonen Transformierbarkeit von ordinalen Nutzenfunktionen wäre der Faktor \beta ohnehin obsolet. Die Exponenten ergeben auch hier eins, um die Eigenschaft der konstanten Skalenerträge zu bewahren (die wie oben beschrieben auch durch die Transformierbarkeit der Nutzenfunktion gerechtfertigt ist).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Elastizitätsinterpretation

Die zentrale Eigenschaft von Funktionen des Cobb-Douglas-Typs ist, dass die Exponenten einer unmittelbaren Interpretation zugänglich sind, handelt es sich doch bei \alpha_{i} gerade um die Elastizität von z bezüglich x_{i}. Betrachtet man zum Beispiel die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, so handelt es sich bei \alpha_i um die so genannte Produktionselastizität des Inputfaktors i – sie gibt approximativ an, um wie viel Prozent der Output y steigt, wenn die eingesetzte Menge des Faktors i um ein Prozent erhöht wird.

Korrespondierende Nachfragefunktionen

Nachfragefunktionen, die aus einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion gewonnen werden, haben die Eigenschaft, dass die Haushalte für die Güter x_i immer einen konstanten Anteil a_{i}/\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} von ihrem Einkommen ausgeben. Diese Anwendung stellt ein Beispiel dafür dar, weshalb die im überstehenden Abschnitt angesprochene Eigenschaft \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} = 1 oftmals den Umgang mit der Funktion erleichtert; dann nämlich lässt sich der Exponent direkt als der gesuchte konstante Anteil interpretieren.

Skalenerträge und Skalenelastizität

Die Skalenerträge sind für \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} = 1 konstant (das heißt für den Fall einer Produktionsfunktion beispielsweise, dass sich der Output verdoppelt, wenn man die Inputs verdoppelt), für \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} < 1 abnehmend (eine Verdoppelung der Inputs führt zu weniger als einer Verdoppelung des Outputs) und für \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} > 1 zunehmend (eine Verdoppelung der Inputs führt zu mehr als einer Verdoppelung des Outputs).

Die Skalenelastizität – also die approximative Änderung der Produktion in Prozent infolge einer einprozentigen Erhöhung aller Inputfaktoren – entspricht der Summe der Exponenten, \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}.

Substitutionselastizität

Bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion beträgt die Substitutionselastizität – das heißt das Verhältnis der relativen Änderung des Verhältnisses des Faktoreinsatzes zur relativen Änderung der Grenzrate der Substitution – stets eins.

Homogenität und (Quasi)konkavität

Allgemein gilt darüber hinaus, dass die Cobb-Douglas-Funktion im definierten Sinne homogen vom Grade \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} ist. Weiter ist sie quasikonkav für alle \alpha_{i}; konkav, wenn \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} \leq 1 und sogar strikt konkav, falls \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} < 1.[9]

Beispiel[Bearbeiten]

Linear-homogene Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

In der Abbildung ist eine linear homogene Cobb-Douglas-Produktionsfunktion als „Produktionsgebirge“ dargestellt. Die Fläche des Gebirges setzt sich aus Geraden zusammen, die vom Ursprung (0,0,0) ausgehen. Hält man einen Produktionsfaktor konstant und erhöht den anderen Produktionsfaktor, dann erhöht sich auch der Output, aber in immer geringerem Maße, die partielle Grenzproduktivität eines Faktors nimmt mit steigender Einsatzmenge dieses Faktors ab. Die partielle Grenzproduktivität ist die Steigung des Produktionsgebirges, wenn man sich auf ihm senkrecht zur Achse des konstant gehaltenen Produktionsfaktors bewegt.

Bewegt sich die Volkswirtschaft entlang einer „Höhenlinie“, dann wird der Einsatz eines Produktionsfaktors durch den des anderen substituiert.. Es gilt das Gesetz von der abnehmenden Grenzrate der technischen Substitution.

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Charles W. Cobb und Paul H. Douglas: A Theory of Production. In: The American Economic Review. 18, Nr. 1 (Supplement, Papers and Proceedings of the Fortieth Annual Meeting of the American Economic Association), 1928, S. 139–165 (JSTOR).
  • Paul H. Douglas: The Cobb-Douglas Production Function Once Again: Its History, Its Testing, and Some New Empirical Values. In: Journal of Political Economy. 84, Nr. 5, 1976, S. 903–916. [Übersichtsdarstellung zur Geschichte und unterschiedlichen Funktionsspezifikationen in der Literatur.]
  • Alfred Endres und Jörn Martiensen: Mikroökonomik. Eine integrierte Darstellung traditioneller und moderner Konzepte in Theorie und Praxis. Kohlhammer, Stuttgart 2007, ISBN 978-3-17-019778-7.
  • Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
  • Knut Sydsæter u.a.: Further mathematics for economic analysis. 2. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9.
  • Knut Sydsæter, Arne Strøm und Peter Berck: Economists’ mathematical manual. 4. Aufl. Springer, Berlin u.a. 2005, ISBN 978-3-540-26088-2 (auch als E-Book: doi:10.1007/3-540-28518-0).
  • Johann Heinrich von Thünen: Der isolierte Staat in Beziehung auf Landwirtschaft und Nationalökonomie. 3. Aufl. Hrsg. von H. Schumacher-Zarchlin. Zweiter Theil. II. Abtheilung. Berlin 1875.
  • Hal Varian: Intermediate Microeconomics. A Modern Approach. 8. Aufl. W. W. Norton, New York und London 2010, ISBN 978-0-393-93424-3.
  • Hal Varian: Microeconomic Analysis. W. W. Norton, New York und London 1992, ISBN 0-393-95735-7.
  • Susanne Wied-Nebbeling und Helmut Schott: Grundlagen der Mikroökonomik. Springer, Heidelberg u.a. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Bo Sandlein in: John Cunningham Wood: Kurt Wicksell: Critical Assessments. S. 176.
  2. Bo Sandlein: The early use of the Wicksell-Cobb-Douglas Function: A Comment on Weber. In: Journal und the History of Economic Thought. BAnd 21, Nummer 2, 1999. S. 191.
  3. a b Vgl. Peter H. Douglas: The Cobb-Douglas Production Function Once Again: Its History, Its Testing, and Some New Empirical Values. In: Journal of Political Economy. 84, Nr. 5, 1976, S. 903–916 (JSTOR), hier S. 904; siehe auch Wicksell-Cobb-Douglas-Produktionsfunktion – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon.
  4. Charles W. Cobb und Paul H. Douglas: A Theory of Production. In: The American Economic Review. 18, Nr. 1 (Supplement, Papers and Proceedings of the Fortieth Annual Meeting of the American Economic Association), 1928, S. 139–165 (JSTOR).
  5. Die hiesige Definition folgt unter anderem Sydsæter u.a. 2008, S. 72; Wied-Nebbeling/Schott 2007, S. 121; Endres/Martiensen 2007, S. 227.
  6. So beispielsweise Sydsaeter/Strøm/Berck 2005, S. 166.
  7. nur Varian 1992, S. 4; Jehle/Reny 2011, S. 68.
  8. Hierzu illustrativ aus der Einführungsliteratur Varian 2010, S. 65.
  9. Sydsæter/Strøm/Berck 2005, S. 166.