Satz von Moivre-Laplace

Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der kontinuierlichen Normalverteilung an.

Der Satz von Moivre-Laplace ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für $n\rightarrow \infty$ und Wahrscheinlichkeiten $0<p<1$ gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann also die Normalverteilung als Näherung für die Binomialverteilung verwendet werden, was vor allem bei Hypothesentests Anwendung findet. Dabei handelt es sich um einen Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes. Der Satz ist nach Abraham de Moivre und Pierre-Simon Laplace benannt.

Aussage

Ist $S_{n}$ eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parameter $n$ und $0<p<1$, dann gilt

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \left({\frac {S_{n}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}<z\right)=\Phi (z)$.

Mit Hilfe einer Substitution sieht man, dass

$\lim _{n\to \infty }\left(\operatorname {P} (S_{n}<t)-\Phi \left({\frac {t-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)\right)=0.$

Dabei steht $\Phi (z)$ für die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung, die auch als Gaußsches Fehlerintegral bezeichnet wird. Werte für $\Phi (z)$ entnimmt man üblicherweise einer Tabelle.

Der Satz von Moivre-Laplace liefert ausreichend gute Näherungen wenn $n$ und $p$ die folgende Bedingung erfüllen:

$np(1-p)>9$

Beispiel

Plot der Dichte der Normalverteilung mit μ = 12 und σ = 3 und der Binomialverteilung mit n = 48 und p = 1/4

Gegeben sei eine Binomialverteilung mit $n=48$ und $p={\tfrac {1}{4}}$, damit gilt folglich $np(1-p)=9$. Wir vergleichen mit einer Normalverteilung mit Mittelwert $\mu =np=12$ und einer Varianz $\sigma ^{2}=np(1-p)=9$.

Anwendungen

Der Satz von Moivre-Laplace ist die theoretische Grundlage der Normal-Approximation, einer Methode, mit der die Binomialverteilung angenährt werden kann

Literatur

• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, doi:10.1007/978-3-658-03077-3, S. 221 ff.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5, doi:10.1007/978-3-322-93581-6, S. 80–83

Weblinks

• Binomial- und Normalverteilung – Online-Lehrgang mit dynamischen Arbeitsblättern (Java-Plugin benötigt)