Normalenform

Die Normalenform, Normalform oder Normalengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der Normalenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor dargestellt. Eine Gerade oder Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene oder im Raum, für die der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor steht. Bei der Normalenform handelt sich damit um eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene.

Normalenform einer Geradengleichung

Normalenform einer Geradengleichung

Darstellung

In der Normalenform wird eine Gerade $g$ in der Ebene durch einen Stützvektor ${\vec {p}}$ und einen Normalenvektor ${\vec {n}}$ folgendermaßen beschrieben:

$g=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{2}\mid ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0\}$.

Hierbei bezeichnet $\cdot$ das Skalarprodukt zweier Vektoren, welches null ist, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Gerade, der auch als Stützpunkt oder Aufpunkt bezeichnet wird. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Gerade einen rechten Winkel bildet.

In der Normalenform werden demnach die Punkte der Geraden implizit dadurch definiert, dass der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor der Gerade steht. Ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\vec {x}}$ die Normalengleichung nicht erfüllt, liegt für $({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}>0$ auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite.

Beispiel

Ausgeschrieben lautet die Normalenform einer Geradengleichung

$(x_{1}-p_{1})\cdot n_{1}+(x_{2}-p_{2})\cdot n_{2}=0$.

Ist beispielsweise der Stützvektor ${\vec {p}}={\tbinom {-2}{1}}$ und der Normalenvektor ${\vec {n}}={\tbinom {-1}{2}}$, so erhält man als Geradengleichung

$(x_{1}+2)\cdot (-1)+(x_{2}-1)\cdot 2=0$.

Jede Wahl von $(x_{1},x_{2})$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise $(0,2)$ oder $(2,3)$, entspricht dann einem Geradenpunkt.

Herleitung

Der Ortsvektor ${\vec {x}}$ eines beliebigen Geradenpunkts lässt sich als Summe

${\vec {x}}={\vec {x}}_{s}+{\vec {x}}_{p}$

darstellen, wobei ${\vec {x}}_{s}$ senkrecht zur Gerade, also parallel zu ${\vec {n}}$, und ${\vec {x}}_{p}$ parallel zur Gerade, also senkrecht zu ${\vec {n}}$, verläuft. Dann ist

${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}=({\vec {x}}_{p}+{\vec {x}}_{s})\cdot {\vec {n}}={\vec {x}}_{p}\cdot {\vec {n}}+{\vec {x}}_{s}\cdot {\vec {n}}={\vec {x}}_{s}\cdot {\vec {n}}$,

da ${\vec {x}}_{p}\cdot {\vec {n}}$ als Skalarprodukt zueinander senkrechter Vektoren) stets null ist. Der Anteil ${\vec {x}}_{s}$ ist aber für jeden auf der Gerade liegenden Punkt der gleiche, also ist für jeden Punkt der Gerade ${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}={\vec {x}}_{s}\cdot {\vec {n}}$ konstant. Damit folgt die Normalenform

${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}=({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0$,

wobei ${\vec {p}}$ ein beliebig ausgewählter Punkt auf der Geraden ist.

Normalenform einer Ebenengleichung

Normalenform einer Ebenengleichung

Darstellung

Analog wird eine Ebene $E$ im dreidimensionalen Raum in der Normalenform ebenfalls durch einen Stützvektor ${\vec {p}}$ und einen Normalenvektor ${\vec {n}}$ beschrieben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0\}$.

Der Stützvektor ist dabei wiederum der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene und der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Das bedeutet, dass der Normalenvektor mit allen Geraden der Ebene, die durch den Stützpunkt verlaufen, einen rechten Winkel bildet.

Wiederum liegt ein Punkt, dessen Ortsvektor ${\vec {x}}$ die Normalengleichung erfüllt, auf der Ebene. Gilt $({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}>0$, dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

Beispiel

Ausgeschrieben lautet die Normalenform einer Ebenengleichung

$(x_{1}-p_{1})\cdot n_{1}+(x_{2}-p_{2})\cdot n_{2}+(x_{3}-p_{3})\cdot n_{3}=0$.

Ist beispielsweise der Stützvektor ${\vec {p}}=(3,2,1)^{T}$ und der Normalenvektor ${\vec {n}}=(2,-1,2)^{T}$, so erhält man als Ebenengleichung

$(x_{1}-3)\cdot 2+(x_{2}-2)\cdot (-1)+(x_{3}-1)\cdot 2=0$.

Jede Wahl von $(x_{1},x_{2},x_{3})$, die die Ebenengleichung erfüllt, beispielsweise $(2,0,1)$ oder $(1,2,3)$, entspricht dann einem Ebenenpunkt.

Verallgemeinerung

Allgemein werden durch eine Normalengleichung Hyperebenen im $n$-dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Eine Hyperebene hat somit die Darstellung

$H=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}\mid ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0\}$,

wobei lediglich mit $n$-komponentigen statt zwei- beziehungsweise dreikomponentigen Vektoren gerechnet wird.

Eine Hyperebene teilt den $n$-dimensionalen Raum in zwei Teile, die Halbräume genannt werden. Gilt $({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}>0$, dann liegt der Punkt in demjenigen Halbraum, in den der Normalenvektor zeigt, ansonsten in dem anderen. Ein Punkt, dessen Ortsvektor die Normalengleichung erfüllt, liegt genau auf der Hyperebene.

Siehe auch

• Achsenabschnittsform
• Hessesche Normalform
• Koordinatenform
• Parameterform

Literatur

• Lothar Papula: Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-9598-1. 
• Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente Der Linearen Algebra Und Der Analysis. Springer, 2009, ISBN 978-3-8274-2255-2.