Koordinatenform

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Die Koordinatenform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Bei der Koordinatenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die Unbekannten der Gleichung sind dabei die Koordinaten der Punkte der Gerade oder Ebene in einem kartesischen Koordinatensystem. Bei der Koordinatenform handelt sich damit um eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene.

Koordinatenform einer Geradengleichung

Koordinatenform einer Geradengleichung

Darstellung

In der Koordinatenform wird eine Gerade $g$ in der Ebene durch drei reelle Zahlen $a$, $b$ und $c$ folgendermaßen über eine lineare Gleichung beschrieben:

$g=\{(x,y)^{T}\in \mathbb {R} ^{2}\mid ax+by=c\}$.

Hierbei muss $a$ oder $b$ ungleich null sein. Alle Punkte, deren Ortsvektoren $(x,y)^{T}$ die Gleichung erfüllen, liegen auf der Gerade. Bei den Zahlen $a$ und $b$ handelt es sich um die Komponenten eines Normalenvektors ${\vec {n}}=(a,b)^{T}$ der Geraden. Ist dieser Vektor normiert, also ein Einheitsvektor, dann gibt $|c|$ den Abstand der Gerade vom Koordinatenursprung an.

Beispiel

Ein Beispiel für eine Geradengleichung in Koordinatenform ist

$2x+3y=1$

Jede Wahl von $(x,y)$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise $(-1,1)$ oder $(2,-1)$, entspricht genau einem Geradenpunkt.

Spezialfälle

• Falls $a=0$ ist, verläuft die Gerade parallel zur x-Achse; ist $b=0$ parallel zur y-Achse.
• Falls $c=0$ ist, handelt es sich bei der Gerade um eine Ursprungsgerade.
• Falls $c=1$ ist, liegt die Geradengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann $(1/a,0)$ und $(0,1/b)$.

Koordinatenform einer Ebenengleichung

Koordinatenform einer Ebenengleichung

Darstellung

Analog wird eine Ebene $E$ im dreidimensionalen Raum in der Koordinatenform durch vier reelle Zahlen $a$, $b$, $c$ und $d$ folgendermaßen beschrieben:

$E=\{(x,y,z)^{T}\in \mathbb {R} ^{3}\mid ax+by+cz=d\}$.

Hierbei muss $a$, $b$ oder $c$ ungleich null sein. Alle Punkte, deren Ortsvektoren $(x,y,z)^{T}$ die Gleichung erfüllen, liegen auf der Ebene. Bei den Zahlen $a$, $b$ und $c$ handelt es sich wieder um die Komponenten eines Normalenvektors ${\vec {n}}=(a,b,c)^{T}$ der Ebene. Ist dieser Vektor normiert, dann gibt $|d|$ den Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung an.

Beispiel

Ein Beispiel für eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist

$2x+3y-z=1$

Jede Wahl von $(x,y,z)$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise $(1,0,1)$ oder $(0,1,2)$, entspricht genau einem Ebenenpunkt.

Spezialfälle

• Falls $a=0$ ist, verläuft die Ebene parallel zur x-Achse, ist $b=0$ parallel zur y-Achse und ist $c=0$ parallel zur z-Achse.
• Falls $d=0$ ist, handelt es sich bei der Ebene um eine Ursprungsebene.
• Falls $d=1$ ist, liegt die Ebenengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann $(1/a,0,0)$, $(0,1/b,0)$ und $(0,0,1/c)$.

Berechnung

Die Ermittlung der Koordinatenform einer Geraden- oder Ebenengleichung aus einer der anderen Darstellungsformen erfordert die Bestimmung der drei beziehungsweise vier Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$.

Aus der Normalenform

Aus der Normalenform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$ lassen sich die Parameter der Koordinatenform durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung direkt ablesen:

$a=n_{1},~b=n_{2},~c=p_{1}n_{1}+p_{2}n_{2}$.

Entsprechend erhält man aus einem Normalenvektor und einem Stützvektor einer Ebene die Parameter der Ebene in Koordinatenform durch

$a=n_{1},~b=n_{2},~c=n_{3},~d=p_{1}n_{1}+p_{2}n_{2}+p_{3}n_{3}$.

Liegt eine Gerade oder Ebene in Hessescher Normalform vor, kann der jeweils letzte Parameter auch übernommen werden.

Aus der Parameterform

Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Richtungsvektor ${\vec {u}}$ bestimmt man zunächst einen Normalenvektor der Geraden über ${\vec {n}}=(-u_{2},u_{1})^{T}$ und ermittelt daraus dann die Parameter der Geraden in Koordinatenform als

$a=-u_{2},~b=u_{1},~c=p_{1}a+p_{2}b$.

Entsprechend bestimmt man aus den beiden Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ einer Ebene zunächst einen Normalenvektor der Ebene über das Kreuzprodukt ${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$ und ermittelt daraus dann die Parameter der Ebene in Koordinatenform als

$a=u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},~b=u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},~c=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1},~d=p_{1}a+p_{2}b+p_{3}c$.

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Zweipunkteform einer Geradengleichung oder der Dreipunkteform einer Ebenengleichung ein Normalenvektor ermitteln und daraus dann die Koordinatenform.

Verallgemeinerung

Allgemein wird durch eine lineare Gleichung mit $n$ Unbekannten eine Hyperebene im $n$-dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Eine Hyperebene hat somit die Darstellung

$H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}=b\}$.

Hierbei muss zumindest einer der Parameter $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ungleich null sein.

Literatur

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2762-5. 

Weblinks

• Ebene von Normalform in Koordinatenform umwandeln. In: Serlo. Abgerufen am 23. Februar 2014. 
• Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln. In: Serlo. Abgerufen am 23. Februar 2014.