Dreipunkteform

Die Dreipunkteform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Ebenengleichung. In der Dreipunkteform wird eine Ebene im euklidischen Raum mit Hilfe der Ortsvektoren dreier Punkte der Ebene dargestellt. Einer der drei Vektoren dient dabei als Stützvektor der Ebene, während die Differenzvektoren zu den anderen beiden Vektoren die Richtungsvektoren der Ebene bilden. Jeder Punkt der Ebene wird dann in Abhängigkeit von zwei Parametern beschrieben. Bei der Dreipunkteform handelt sich also um eine spezielle Parameterdarstellung der Ebene.

Darstellung

Dreipunkteform einer Ebene

In der Dreipunkteform wird eine Ebene $E$ im dreidimensionalen Raum durch die Ortsvektoren ${\vec {p}}$, ${\vec {q}}$ und ${\vec {r}}$ dreier Punkte der Ebene folgendermaßen beschrieben:

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {x}}={\vec {p}}+s({\vec {q}}-{\vec {p}})+t({\vec {r}}-{\vec {p}})~{\text{für}}~s,t\in \mathbb {R} \}$.

Die drei Punkte dürfen dabei nicht kollinear sein, das heißt nicht alle auf einer Geraden liegen. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Kreuzprodukt $({\vec {q}}-{\vec {p}})\times ({\vec {r}}-{\vec {p}})\neq {\vec {0}}$ ist. Der Vektor ${\vec {p}}$ dient dabei als Stützvektor der Ebene, während die Differenzvektoren ${\vec {q}}-{\vec {p}}$ und ${\vec {r}}-{\vec {p}}$ die Richtungsvektoren der Ebene bilden.

In der Dreipunkteform werden die Punkte der Ebene in Abhängigkeit von den beiden Parametern $s$ und $t$ dargestellt. Jedem Wertepaar dieser Parameter entspricht genau ein Punkt der Ebene. Die beiden Richtungsvektoren spannen dabei ein affines Koordinatensystem auf, wobei $(s,t)$ die affinen Koordinaten eines Punkts der Ebene sind.

Beispiel

Ausgeschrieben lautet die Dreipunkteform einer Ebenengleichung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}r_{1}-p_{1}\\r_{2}-p_{2}\\r_{3}-p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{1}+s(q_{1}-p_{1})+t(r_{1}-p_{1})\\p_{2}+s(q_{2}-p_{2})+t(r_{2}-p_{2})\\p_{3}+s(q_{3}-p_{3})+t(r_{3}-p_{3})\end{pmatrix}}$

mit $s,t\in \mathbb {R}$. Sind beispielsweise die drei Ortsvektoren ${\vec {p}}=(3,2,1)^{T}$, ${\vec {q}}=(5,1,1)^{T}$ und ${\vec {r}}=(2,2,3)^{T}$, so erhält man als Ebenengleichung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}5-3\\1-2\\1-1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}2-3\\2-2\\3-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3+2s-t\\2-s\\1+2t\end{pmatrix}}$.

Jede Wahl von $(s,t)$, beispielsweise $(0,0)$ oder $(1,2)$, ergibt dann einen Ebenenpunkt.

Berechnung

Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und den beiden Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ lassen sich neben dem Stützvektor zwei weitere Ortsvektoren von Punkten der Ebene einfach durch Wahl von

${\vec {q}}={\vec {p}}+{\vec {u}}$   und   ${\vec {r}}={\vec {p}}+{\vec {v}}$.

finden. Aus den weiteren Formen von Ebenengleichungen, der Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Normalenform und der hesseschen Normalform, wird zunächst die zugehörige Parameterform der Ebene ermittelt (siehe Berechnung der Parameterform) und daraus dann die Dreipunkteform.

Verallgemeinerung

Allgemein lassen sich durch die Dreipunkteform nicht nur Ebenen im dreidimensionalen Raum, sondern auch in höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im $n$-dimensionalen euklidischen Raum lautet die Dreipunkteform einer Ebenengleichung entsprechend

$E=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\vec {x}}={\vec {p}}+s({\vec {q}}-{\vec {p}})+t({\vec {r}}-{\vec {p}})~{\text{für}}~s,t\in \mathbb {R} \}$.

wobei lediglich mit $n$-komponentigen statt dreikomponentigen Vektoren gerechnet wird.

Literatur

• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1. Springer, 2007, ISBN 978-3-8348-0224-8. 
• Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-77731-1.