Fahnensatz

Der Fahnensatz oder auch Trigonalisierungssatz ist ein elementarer Lehrsatz der Linearen Algebra, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er ergibt sich im Zusammenhang mit der Behandlung des sogenannten Normalformenproblems, bei dem die Möglichkeit der Normalformendarstellungen von Vektorraumendomorphismen durch spezielle Matrizen untersucht wird. In diesen Themenkreis gehören auch die Lehrsätze über die jordanschen Normalform.

Formulierung des Satzes

Der Lehrsatz lässt sich wie folgt formulieren:

Für einen Vektorraumendomorphismus $\phi \colon V\to V$ auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum $V$ sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

(i) Zu $\phi$ existiert in $V$ eine Fahne, welche $\phi$-stabil ist in dem Sinne, dass jeder der in dieser Fahne vorkommenden Untervektorräume von $\phi$ in sich selbst abgebildet wird.

(ii) Das charakteristische Polynom von $\phi$ zerfällt in Linearfaktoren.

(iii) $\phi$ ist trigonalisierbar.

Folgerung

Mit dem Fundamentalsatz der Algebra ergibt sich aus dem Fahnensatz das folgende Korollar:

Jeder Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums über dem Körper der komplexen Zahlen ist trigonalisierbar.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 17., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4. 
• E. Lamprecht: Lineare Algebra I (= Uni-Taschenbücher. Band 1021). UTB, Basel (u.a.) 1980, ISBN 3-7643-1175-4. 
• Eberhard Oeljeklaus - Reinhold Remmert: Lineare Algebra I (= Heidelberger Taschenbücher. Band 150). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1974, ISBN 3-540-06715-9.  MR0366944