„Treppenfunktion (reelle Funktion)“ – Versionsunterschied
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{{Dieser Artikel| behandelt die Treppenfunktionen auf <math> \R </math> und <math> \R^n </math>. Für Treppenfunktionen, die beispielsweise bei der Konstruktion des Lebesgue-Interals verwendet werden siehe [[Einfache Funktion]].}} |
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[[Datei:Stepfunction1.png|thumb|Beispiel einer Treppenfunktion]] |
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Eine '''Treppenfunktion''' ist in der [[Mathematik]] eine spezielle [[reelle Funktion]], die nur endlich viele Funktionswerte annimmt und stückweise konstant ist. Dadurch erhält der [[Funktionsgraph]] einer Treppenfunktion sein charakteristisches und namensgebendes Aussehen, das einer auf- und absteigenden Treppe ähnelt. |
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Eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f\colon X\rightarrow Y</math> auf einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>X\subseteq \R</math> heißt '''Treppenfunktion''' , wenn es [[Disjunkt|paarweise disjunkte]] Intervalle <math>X_1, \dotsc, X_n</math> gibt, so dass |
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und <math>f</math> auf den Intervallen <math>X_1, \dotsc, X_n</math> [[Konstante Funktion|konstant]] ist. |
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Eine Funktion |
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heißt eine Treppenfunktion, wenn es Zahlen <math> t_0, t_1, \dots, t_n </math> mit |
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:<math> a=t_0 < t_1 < 2_2 < \dots < t_n = b </math> |
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gibt und Zahlen <math> c_1, c_2, \dots, c_n </math>, so dass |
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:<math> f(x)=c_i \text{ für alle } x \in (t_{i-1}, t_i) </math> |
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und alle <math> i=1, \dots, n </math> ist. Dabei sind die Funktionswerte <math> f(t_i) </math> an den "Stützstellen" beliebig, aber reell.<ref>{{Literatur|Autor=[[Otto Forster]]|Titel=Analysis 1|TitelErg=Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen|Auflage=11., erweiterte|Verlag=Springer Spektrum|Ort=Wiesbaden|Jahr=2013|ISBN=978-3-658-00316-6|Seiten=105| DOI=10.1007/978-3-658-00317-3}} </ref> |
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== Verwendung == |
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Treppenfunktionen benutzt man auch zur [[Numerische Quadratur|Approximation]] von [[Integralrechnung|Integralen]]. Das Integral einer Treppenfunktion wird durch |
Treppenfunktionen benutzt man auch zur [[Numerische Quadratur|Approximation]] von [[Integralrechnung|Integralen]]. Das Integral einer Treppenfunktion wird durch |
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* [[Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion]] |
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== Abgrenzung == |
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Die Treppenfunktionen sind sowohl den [[Einfache Funktion|einfachen Funktionen]] als auch den [[Sprungfunktion (Maßtheorie)|Sprungfunktionen]] sehr ähnlich, sollten aber nicht mit diesen verwechselt werden. |
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So nehmen beispielsweise einfache Funktionen auch nur endlich viele Werte an, können aber trotzdem viel Komplexer sein, da sie nicht über Intervalle auf dem Grundraum definiert werden, sondern über [[messbare Menge]]n. So ist beispielsweise die [[Dirichlet-Funktion]] eine einfache Funktion, aber keine Treppenfunktion im hier genannten Sinne, da sie überabzählbar viele Sprungstellen hat und in keinem noch so kleinen Intervall konstant ist. Außerdem werden einfache Funktionen auf beleibigen [[Messraum (Mathematik)|Messräumen]] definiert, wohingegen Treppenfunktionen bloß auf <math> \R </math> definiert werden. Allerdings ist jede Treppenfunktion auch immer eine einfache Funktion. |
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Die Sprungfunktionen sind wie die Treppenfunktionen auch auf den reellen Zahlen definiert. Allerdings sind sie immer [[monoton wachsend]], können aber auch abzählbar viele Sprungstellen haben. |
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== Weblinks == |
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* [http://mathworld.wolfram.com/StepFunction.html @mathworld] |
* [http://mathworld.wolfram.com/StepFunction.html @mathworld] |
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== Einzelnachweise == |
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<references /> |
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[[Kategorie:Integralrechnung]] |
[[Kategorie:Integralrechnung]] |
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Version vom 31. August 2016, 10:35 Uhr
Eine Treppenfunktion ist in der Mathematik eine spezielle reelle Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte annimmt und stückweise konstant ist. Dadurch erhält der Funktionsgraph einer Treppenfunktion sein charakteristisches und namensgebendes Aussehen, das einer auf- und absteigenden Treppe ähnelt.
Definition
Eine Funktion
heißt eine Treppenfunktion, wenn es Zahlen mit
gibt und Zahlen , so dass
und alle ist. Dabei sind die Funktionswerte an den "Stützstellen" beliebig, aber reell.[1]
Verwendung
Treppenfunktionen benutzt man auch zur Approximation von Integralen. Das Integral einer Treppenfunktion wird durch
definiert. Der Vorteil ist hier, dass man ohne Grenzwertprozess auskommt und nur endliche Summen hat. In der Summenformel bezeichnet den Wert von auf dem Intervall sowie die Länge dieses Intervalls, also zum Beispiel für die Differenz .
Bereits durch die einfache Definition des Integrals einer Treppenfunktion hat man ein starkes mathematisches Hilfsmittel gewonnen: Jede beschränkte, stetige Funktion mit kann beliebig genau durch eine Treppenfunktion approximiert werden. Also kann auch das Integral dieser Funktion beliebig genau approximiert werden. Diese Tatsache ist ein wichtiges Fundament für die Definition des Riemann-Integrals. Auf diese Weise hat Jean Gaston Darboux die Einführung des Riemann-Integrals vereinfacht.
Beispiele
- Die Heaviside-Funktion ist 0 für jede negative Zahl, sonst 1.
- Rechteckfunktion
- Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion
- Verteilungsfunktionen diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Abgrenzung
Die Treppenfunktionen sind sowohl den einfachen Funktionen als auch den Sprungfunktionen sehr ähnlich, sollten aber nicht mit diesen verwechselt werden.
So nehmen beispielsweise einfache Funktionen auch nur endlich viele Werte an, können aber trotzdem viel Komplexer sein, da sie nicht über Intervalle auf dem Grundraum definiert werden, sondern über messbare Mengen. So ist beispielsweise die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion, aber keine Treppenfunktion im hier genannten Sinne, da sie überabzählbar viele Sprungstellen hat und in keinem noch so kleinen Intervall konstant ist. Außerdem werden einfache Funktionen auf beleibigen Messräumen definiert, wohingegen Treppenfunktionen bloß auf definiert werden. Allerdings ist jede Treppenfunktion auch immer eine einfache Funktion.
Die Sprungfunktionen sind wie die Treppenfunktionen auch auf den reellen Zahlen definiert. Allerdings sind sie immer monoton wachsend, können aber auch abzählbar viele Sprungstellen haben.
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 11., erweiterte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00316-6, S. 105, doi:10.1007/978-3-658-00317-3.