Einflusslinie

Einflusslinien $\eta _{M}$ und $\eta _{Q}$ auf das Biegemoment $M$ bzw. auf die Querkraft $Q$ an der Schnittstelle $s$ des Einfeldträgers unter einer rechts-links-verschieblichen Belastung $F_{z}$ am Ort $b$

Eine Einflusslinie ist in der Statik, insbesondere in der Baustatik, eine mathematisch durch die Einflussfunktion (s. u.) beschreibbare Kurve. Die Einflusslinie einer Kraft- oder Verschiebungsgröße ist die Linie, die den Einfluss einer am variablen Ort angreifenden Belastung eines Tragwerks (Kraft, Moment, Winkeländerung, Relvativerschiebung) auf eine am festen Ort auftretende statische Zustandsgröße (Schnittreaktion, Lagereaktion, Verschiebung, Verdrehung) in übersichtlicher, normierter Form zeigt. Sie dient (unter anderem) bei mehreren möglichen Belastungsfällen der effizienten Bestimmung der Belastung die zu einer maximalen (bzw. minimalen) Schnittgröße (N, V, M) führt für eine bestimmten Postition x_{Bemessungsstelle} Eine Einflusslinie sagt nicht nur aus ob eine Last günstig (entlastend) oder ungünstig(belastend) wirkt, sondern auch wie groß der quantitative Einfluss einer Last die an einem Punkt x_Belastung auf die zu suchende Schnittgröße an der Stelle x_{Bemessungsstelle} ist.

Mit Hilfe von Einflusslinien lässt sich z.B. zeigen, wie ein über eine Brücke rollendes Fahrzeug die Reaktionskraft eines Brückenlagers oder die Schnittreaktionen an irgendeiner Stelle des Brückenbalkens stetig ändert bzw. beeinflusst. Die nebenstehende Abbildung zeigt die Einflusslinien $\eta _{M}$ und $\eta _{Q}$ für den Einfluss einer rechts-links-verschieblichen Last $F_{z}$ am Belastungsort $b$ auf die Schnittreaktionen Biegemoment bzw. Querkraft an der Stelle $s$ eines statisch bestimmt gelagerten Balkens. Bei statisch bestimmten Systemen sind die Einflusslinien für Kraftgrößen stückweise lineare Funktionen über die Balkenlänge

Vergleich mit Zustandslinien

Zustands- und Einfluss­linien. Innere Querkraft $Q$ in einem mit einer äußeren Querkraft belasteten Einfeldträger, dargestellt über der b-s-Ebene. Die Linien b=konst sind Zustandslinien, die Linien s=konst sind (mit der Belastungskraft multiplizierte) Einflusslinien.

→ Hauptartikel: Zustandslinie

Die meisten statischen Tragwerke im Hochbau werden mit wanderden Belastungen (z.B. Fussgänger, Zwischenwände) belastet, dies wird in der statischen Berechnung aus pragmatischen Gründen jedoch oftmals als ortsfesten fläche Belastung (z.B.Menschengedränge, Zwischenwandzuschlag) und einzelnen Einzellasten (z.B. Tressor/Bücherregal, lokaler Winddruck gemäß Eurocode) an der statisch ungünstigsten Stelle abgebildet. Für jeden jeweils ortsfesten Lastfall definierten Zustandslinien (auch Schnittgrößenlinien) den Verlauf einer Beanspruchung (Zustand) längs eines Bauteils. Zustandslinien haben mit Einflusslinien nur die einen variablen Ort kennzeichnende Abszisse gemeinsam:

• Einflusslinie: Abhängigkeit einer statischen Größe an einem bestimmten Ort (z.B. Stoß von zwei Träger) vom variablen Ort der belastenden Größe;
• Zustandslinie: Schnittgrößenverlauf längs eines Bauteils infolge einer für den Lastfall als ortsfest betrachtete Belastung (Auto an einem bestimmen Punkt).

Zur Arbeit mit Einflusslinien sind prinzipiell keine zusätzlichen Kenntnisse als zur Ermittlung des Bauteilzustandes (innere Größen) bei vorgebener unveränderter Belastung erforderlich.

Mit Hilfe einer Einflusslinie kann der Einfluss sowohl auf eine ortsfeste Kraft- als auch auf eine Weggröße dargestellt werden.

Tabelle 1: Vergleich Zustandlinie - Einflusslinie

	Zustandslinien	Einflusslinien
Ort der Belastung:	ortsfest: (zuvor definiert, für den LF konstant)	variabeler Angriffspunkt: (dort wo die Linie aufgetragen wird)
Ort der Beanspruchung:	variabel: (dort wo die Linie aufgetragen wird)	ortsfest: (bestimmter Punkt)

Eine Einflusslinie ist wie eine Zustandslinie eine Funktion in Abhängigkeit der Stabachsenkoordinate x, Einflusslinien unterscheiden sich aber wesentlich von Zustandslinien. Während Zustandslinien nur für einen bestimmten Lastfall (LF) gelten, sind Einflusslinien universelle für beliebige Belastungen auswertbar. Einflusslinien werden in der Regel dafür angewandt, wenn man etwas an einer bestimmten Stelle Dimensionieren will. Beispiel hierfür wäre ein Montagestoß oder eine Auflagerreaktion.

Die Einflussfunktion

Die Einflussfunktion $\eta _{Z}(b,s=const)$, welche die Einflusslinie analytisch oder numerisch formuliert, ist gleich der am festen (Schnitt-)Ort $s$ auftretenden Zustandsgröße $Z(b,s=const)$, dividiert durch die Belastung $B$ am Ort $b$. Der veränderliche Belastungsort $b$ und der feste Ort $s$ der untersuchten Zustandsgröße $Z$ sind die Variable bzw. der Parameter der Einflusslinie. Ihre Ordinate hat die Dimension der ortsfesten Zustandsgröße $Z$, dividiert durch die Dimension der ortsveränderlichen Belastung $B$.

Da $Z(b,s=const)$ proportional $B$ ist, kann man bei der Herleitung der Einflussfunktion $\eta _{Z}(b,s=const)={\frac {Z(b,s=const)}{B}}$ - statt einen willkürlichen Belastungswert $B$ annehmen, durch den schließlich dividiert wird - eine Einheitsbelastung $B=1$ ansetzen, was die Division erübrigt. Entsprechend gilt die gleichwertige Definition: Die Einflussfunktion $\eta _{Z}(b,s)$ ist gleich der am festen Ort $s$ auftretenden Zustandsgröße $Z(b,s=const)$ infolge einer am variablen Ort $b$ angreifenden Einheitsbelastung. Da es physikalisch nicht korrekt ist eine Belastung gleich eins zu setzten, wird die Belastung manchmal auch in Einheiten eingesetzt (z.B. 1kN).

Als besonders vorteilhaft erweisen sich Einflusslinien, wenn die Zustandsgröße für eine Gruppe von Kräften ermittelt werden soll. Wenn z. B. das Reaktionsmoment $M$ an der Stelle $s$ unter der Belastung der Kräfte $F_{1}$ und $F_{2}$ bei $b_{1}$ bzw. $b_{2}$ ermittelt werden soll, erhält man mit dem Überlagerungssatz $M(x=s)=F_{1}\eta _{M}(b_{1},s)+F_{2}\eta _{M}(b_{2},s)$.

Mit derselben Einflussfunktion kann auch eine Streckenlast $q(x)$ erfasst werden. Der Kraftbeitrag $q(x){\text{d}}x$ längs des Wegelements ${\text{d}}x$ erzeugt bei $s$ den Momentenbeitrag ${\text{d}}M=q(x){\text{d}}x\cdot \eta _{M}(x,s)$. Das Moment der gesamten Streckenlast ist gleich dem Integral von ${\text{d}}M$ über die Länge der Streckenlast.

Die in der Einleitung (abgrenzend gegen die Einflusslinie) erläuterte Zustandslinie ist der Graph der Funktion $Z(b,s)$, wenn man den Angriffsort $b$ der Belastung als festen Parameter und die Schnittstelle $s$ als Variable behandelt. Die Zeichnung rechts illustriert den Zusammenhang von Zustands- und Einflusslinien für die Querkraft $Q$ (dicke Linien) am Beispiel des oben abgebildeten Trägers (Bezeichnungen wie dort).

Berechnung

Satz von Betti

2Belastungen

System 1: zuerst wird an der linken, dann an der rechten Stelle belastet

System 2: zuerst wird an der rechten, dann an der linken Stelle belastet

2 Belastungen mit jeweiligen Durchbiegungen

Sowohl für die Einflusslinien von Weggrößen, als auch für die Einflusslinie von Schnittgrößen bei statisch unbestimmten Systemen sind Reziprozitätstheoreme eine wesentliche Grundlage.

Bei rein linear elastischen Materialverhalten, sind Verformungen nicht von der Belastungsgeschichte abhängig, sondern nur aktuellen Belastung abhängig. Da die bei rein elastischen Materialverhalten sämtliche geleistete Arbeit im Sinne von Deformationsenergien rückgewinnbar ist, muss die geleistete Arbeit unabhängig davon sein, in welcher Reihenfolge die Belastungen aufgebracht wurden.

Betrachten wir System 1, wie im Bild rechts dargestellt: Dort wird zuerst F an der Stelle i und dann P an der Stelle j aufgebracht, hier ist bei linearer Elastizität die geleistete Arbeit der äußeren Kräfte:

$A_{1}^{(a)}=F^{(i)}\cdot \left({\frac {\delta _{ii}}{2}}+\delta _{ij}\right)+P^{(j)}\cdot \left({\frac {\delta _{jj}}{2}}\right)$

In System 2, wird zuerst an der Stelle j mit der Last P und anschließend mit der Last F an der linken Stelle belastet, wie im Bild rechts dargestellt. Unter Annahme der linearen Elastizität ist die Arbeit der äußeren Kräfte somit:

$A_{2}^{(a)}=F^{(i)}\cdot \left({\frac {\delta _{ii}}{2}}\right)+P^{(j)}\cdot \left(\delta _{ji}+{\frac {\delta _{jj}}{2}}\right)$

Da die geleistete Arbeit unabhänig vom Belastungsverlauf, also wegunahänig ist, folgt:

$A_{1}^{(a)}=A_{2}^{(a)}$

somit folgt der Satz von Betti:

$F^{(i)}\cdot \delta _{ij}=P^{(j)}\cdot \delta _{ji}$

Der Satz von Betti gilt für beliebige Belastungen, das heißt F und P stehen nur nicht für Kräfte, wie in diesem Fall sondern gelten für alle Kräftgrößen, wie zum Beispiel auch Momente. Hier ist anzumerken, dass dann die Weggrößen δ nicht nur für Verschiebungen, sondern für Weggrößen beliebiger Art sind unter anderem auch Verdrehungen Hieraus folgen folgende Formulierungen:

$F^{(i)}\cdot u_{ij}=F^{(j)}\cdot u_{ji}$

$F^{(i)}\cdot u_{ij}=M^{(j)}\cdot \varphi _{ji}$

$M^{(i)}\cdot \varphi _{ij}=M^{(j)}\cdot \varphi _{ji}$

Man beachte dass der erste Indizes der Weggröße den Ort der Weggröße und der zweite Indizes die Ursache beschreibt. Die Weggröße δ_ij muss der energetisch konjungierte Arbeitspartner der Kraftgröße P^{(j)} sein.

Spezialisiert man den Satz von Betti für F=1 und P=1 folgt der Satz von Maxwell:

$\delta _{ij}=\delta _{ji}$

Satz von Betti für Einflusslinien

Wenn wir an der Bemessungstelle x_i die Verschiebung zufolge einer Last an einer Belastungsstelle x_j wissen wollen ist es, mithilfe des Satzes von Maxwell, möglich statt die Last an Belasungsstelle x_j zu setzen, diese Belastung an die Bemessungstelle x_i zu setzen und die Verschiebung an der Belastungsstelle x_j zu bestimmen, da diese ident ist mit der gesuchten Verschiebung.

Diese Analogie wird für die Konstruktion von Einflusslinien von Verschiebungen verwendet indem man eine gedankliche Last F=1 ausschließlich an die Bemessungstelle x_i setzt mit dieser die Durchbiegungen des Systems bestimmt. Da diese Durchbiegungen δ_ij, an der Stelle x_i zufolge einer Einheitslast an der Stelle x_j, ident sind mit der Durchbiegung δ_ji, an der Stelle x_j zufolge einer Einheitslast an der Stelle x_i, folgt daraus, dass die Durchbiegungen der Einflusslinie für die Durchbiegung an der Stelle x_i.

Einflusslinien für Schnittgrößen bei statisch bestimmten Systemen

Einflusslinie für die Normalkraft in Punkt b

Bei statisch bestimmten Systemen bestehen die Einflusslinien aus stückweise linearen Funktionen. Die Konstruktion erfolgt in dem man eine energetisch konjugierte (virtuelle) Weggröße aufbringt. Diese ist so zu wählen, dass die Kraftgröße an ihr negative Arbeit leistet.