Biegemoment

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Bild 1: Eingespannter Balken (Kragbalken) mit einer Kraft F als Punktlast P im Abstand L

Als Biegemoment wird ein Moment bezeichnet, das einen schlanken Körper, Träger, Welle oder einen Balken auf Biegung durch eine Krafteinwirkung durch eine Punkt- oder Streckenlast in einem bestimmten Abstand von einem Lager in einer Ebene belastet. Das Biegemoment wird in der SI-Einheit Nm angegeben. Es kann mit der Formel M = F\cdot L berechnet werden. Es ist daher ein Drehmoment.

Biegemoment in der Balkentheorie[Bearbeiten]

Bild 2: Zug- und Druckspannung auf Grund der Belastung eines Kragbalkens nach der Balkentheorie

Die Balkentheorie beschreibt das Verhalten eines Balken unter Belastung, insbesondere seine Durchbiegung auf Grund der auftretenden Zug- und Druckbelastungen. Damit ist die Balkentheorie ein Teilgebiet der Statik und Festigkeitslehre mit der Elastizitätstheorie, sowie ein Grundbestandteil der technischen Mechanik. Häufig spricht man auch von der Biegetheorie des Balkens. Die für Festigkeitsbetrachtungen erforderliche maximale Biegespannung in einem Balkenquerschnitt kann aus dem gegebenen Biegemoment und dem Widerstandsmoment der Querschnittsfläche ermittelt werden.

Biegemoment bei Trägern[Bearbeiten]

Ein Biegemoment tritt auch bei einem Träger mit zwei und mehr Lagern auf.

Bild 3: Belasteter Balken mit einer Kraft F

Für einen mit einer Kraft F belasteten Balken auf zwei Stützen ist bei der Krafteinleitung in dessen Mitte (l/2) der Betrag des Biegemoments am größten.

Balken mit Mittenlast

Es beträgt maximal M = F\cdot l/4. Das Biegemoment im Balkenquerschnitt ist an den beiden Enden des Trägers x=0 und x=l jeweils gleich Null.

Zur Berechnung der inneren Momente wird das Bauteil an der interessierenden Stelle gedanklich durchgeschnitten und es werden diejenigen Momente betrachtet, die an einem Teilstück in Bezug auf die Schnittstelle wirken. Das Biegemoment an einer Stelle x ist damit die Summe aller Drehmomente, die von Kräften auf einer Seite der Schnittstelle x verursacht werden.[1]

Man kann diese Untersuchung an einem beliebigen der beiden Teilstücke durchführen, da sich aus Gleichgewichtsgründen für beide Seiten entgegengesetzt gleiche Werte ergeben.

Biegemoment an einem an seinen Enden gelagerten Balken[Bearbeiten]

Im an seinen Enden gelagerten Balken mit mittiger Einzellast (nebenstehende Zeichnung) unterliegt das linke Teilstück einem rechtsdrehenden Drehmoment (in der technischen Mechanik kurz Moment genannt), welches mit Hilfe der Auflagekraft FL=F/2 am linken Lager beschreibbar ist. Das Moment wächst von Null am Auflager linear bis zum Maximalwert in der Mitte. Rechts der Mitte kommt aus der belastenden Kraft F ein vom Wert Null bis zum gleichen Maximalwert am rechten Auflager linear ansteigendes, linksdrehendes Moment hinzu, so dass die Momenten-Summe vom Maximalwert in der Mitte bis Null am rechten Ende linear abnimmt.[2]


M(x)=\begin{cases}
 F/2 \cdot x     &  \text{(links der Mitte)} \\
 F/2 \cdot (l-x) &  \text{(rechts der Mitte)}
\end{cases}

In der Mitte des Balkens (x=l/2) ist das Biegemoment maximal und hat den Wert:

M_{max} = \frac{F \cdot l}{4}

Biegemoment und Biegelinie[Bearbeiten]

Hauptartikel: Biegelinie

Die Form beziehungsweise die Biegelinie w(x) eines elastisch verbogenen Bauteiles (Balken) mit konstantem Querschnitt, das einem Biegemoment M_y(x) (Index y: Biegung um die y-Achse)unterworfen ist, kann mit folgender Näherungs-Formel beschrieben werden:

w''(x) = -{M_y(x) \over E \cdot I_y}     (w'' ist die Krümmung der Biegelinie, die in der xz -Ebene (Bildebene) liegt.)

Der Elastizitätsmodul E ist eine Materialeigenschaft, I_y ist das axiale Flächenträgheitsmoment (eine rein geometrische Größe) des Balken-Querschnitts, von dem sein Verhalten bei Biegung um die y -Achse abhängt.

Die Krümmung w'' ist proportional zum Biegemoment M_y.

Im an seinen Enden gelagerten Balken mit mittiger Einzellast (obige Zeichnung) sind beide in der Mitte (x=l/2) am größten.

w''(x=l/2) = -{F \cdot l \over 4 \cdot E \cdot I_y}

Biegemoment und Biegespannung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Biegespannung

Die durch das Biegemoment verursachte Biegespannung in einem Querschnitt eines Balkens kann wie folgt ermittelt werden:

\sigma_B(z) = \frac{M_y(x)}{I_y} z     (zusätzlich variabel in z-Koordinate, die im Beispiel vertikal verläuft)

Die Biegespannung \sigma_B ist gleich wie die Krümmung des schlanken Bauteils proportional zum Biegemoment M_y. Im Beispiel ist sie folglich auch in Balkenmitte (x=l/2) am größten.

\sigma_B(z) = \frac{M_y(x=l/2)}{I_y} z

Die Höhe der Biegespannung spielt eine Rolle, wenn zu untersuchen ist, ob der Balken die Beanspruchung aushält, sich nicht bleibend verformt oder gar bricht. Sie ist im Balkenquerschnitt proportional zur Entfernung z von der neutralen Faser (in der Regel durch den Schwerpunkt des Querschnitts gehend). Beim maximalen z_r, das heißt in der oberen Randfaser (Bogeninnenseite) entsteht die größte Druck-Spannung, in der untersten Randfaser (Bogenaußenseite) die größte Zug-Spannung.

Weil bei konstantem Balkenquerschnitt das Flächenträgheitsmoment konstant ist, lässt sich sein Quotient mit dem Abstand der Randfaser z_r zum konstanten Widerstandsmoment

W_y =  I_y/z_r     (Index y kennzeichnet, dass das Widerstandsmoment für Biegung um y-Achse gilt)

zusammen fassen. Für die in der Randfaser auftretende Biegespannung gilt damit die Formel:

\sigma_B(z=z_r) = \frac{M_y(x)}{W_y}

Im an seinen Enden gelagerten Balken mit mittiger Einzellast (obige Zeichnung) entsteht mit den Werten   x=l/2   und   M_y= F \cdot l/4
folgende Grenz-Gleichung gegen Biege-Versagen:

\sigma_B(x=l/2)(z=z_r) = \frac{F\cdot l}{4\cdot W_y}

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Alfred Böge (Hrsg.): Handbuch Maschinenbau: Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik. 20 Auflage. Springer DE, 2011 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Rechts der Mitte führt die spiegelbildliche Betrachtung mit Hilfe der rechten Auflagerkraft FR über ein linksdrehendes Moment zum gleichen Ergebnis.