Lineare Funktion

Mit dem Begriff lineare Funktion wird oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Abbildung der Form

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\quad\mbox{mit}\quad x\mapsto\ m\cdot\ x+n \; ; \quad m,n \in \mathbb{R},$

also eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades, bezeichnet.

Im mathematisch strengen Sinne handelt es sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung, sondern um eine affine Abbildung, da die Linearitätsbedingung i. A. nicht erfüllt ist. Erst für den Spezialfall $n=0$ wird daraus eine lineare Funktion im eigentlichen Sinne, auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet. Nur in Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall $n \ne 0$ auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt (siehe dazu auch Geradengleichung), was jedoch unter Umständen zu Verwirrungen führen kann. Trotzdem wird in diesem Artikel die häufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten.

Lineare Funktionen gehören zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Graph

Lineare Funktion und Steigungsdreiecke

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. In kartesischen Koordinaten $(x,y)$ erfüllen solche Geraden also die Gleichung

$y = m\;x + n,$

wobei x (die Abszisse) eine unabhängige und y (die Ordinate) die abhängige Variable ist.

Manchmal werden auch andere Benennungskonventionen verwendet, z. B. $f(x)=ax+b,$ $f(x)=mx+c,$ $f(x)=mx+b,$ $f(x)=mx+t$ oder $y=ax+b.$ In Österreich wird häufig $y=kx+d$ verwendet, in der Schweiz hingegen $y=mx+q.$ In Belgien findet man auch $y=mx+p$ oder $y=kx+t.$

Diese Form bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre Komponenten lassen sich wie folgt interpretieren:

• Die Zahl m gibt den linearen Faktor oder die Steigung der Geraden an.
• Die Zahl n ist die Inhomogenität, der Ordinatenabschnitt, die Verschiebungskonstante oder der y-Achsenabschnitt.

Der Graph einer linearen Funktion kann niemals parallel zur y-Achse verlaufen, da sonst einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet wären. Dies würde der Definition einer Funktion als eindeutige Zuordnung widersprechen.

Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten

Lineare Funktion

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte $(x_1|y_1)$ und $(x_2|y_2)$ auf dem Graphen der linearen Funktion $f$ liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung $m$ lässt sich berechnen zu

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$

Der y-Achsenabschnitt $n$ ergibt sich zu

$n = y_1 - m \cdot x_1$ oder $n = y_2 - m \cdot x_2.$

Der gesuchte Funktionsterm $f(x)$ ist also gegeben durch

$f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x + \left(y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_1\right)$

oder einfacher durch

$f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) + y_1.$

Zusammenfassung

Funktionsgleichung

Eine Funktion $f\,$ mit $f(x)=a_1x+a_0\,$ heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion.

Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade.

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt $P$ mit der x-Achse: $P(x_P|0)\Rightarrow f(x_P)=0\,$

Schnittpunkt $Q$ mit der y-Achse: $Q(0|y_Q)\Rightarrow y_Q=f(0)\,$

Steigung

Die Steigung $\tan\alpha\,$ des Graphen einer linearen Funktion $f\,$ lässt sich als Koeffizient $a_1\,$ aus der Funktionsgleichung $f(x)=a_1x+a_0\,$ ablesen.

Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:

$\tan\alpha = \frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1} = \frac{y_2-y_1} {x_2-x_1} = \frac{\Delta y} {\Delta x}\,$

Funktionsgleichung aufstellen

• Die Steigung $a_1 = a$ und ein Punkt $P_1(x_1|y_1)$, der auf der Geraden liegt, seien bekannt.

Ansatz: $f(x) = ax + a_0$

$P_1(x_1|y_1) \quad \Rightarrow \quad f(x_1) = y_1 \quad \Rightarrow \quad ax_1 + a_0 = y_1 \quad \Rightarrow \quad a_0 = y_1 - ax_1$

• Die Koordinaten zweier Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2),$ die auf der Geraden liegen, seien bekannt.

Zuerst wird der Steigungsfaktor $a_1=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}$ berechnet, dann damit $a_0\,$:

$P_1(x_1|y_1) \quad \Rightarrow \quad f(x_1) = y_1 \quad \Rightarrow \quad a_1x_1 + a_0 = y_1 \quad \Rightarrow \quad a_0 = y_1 - a_1x_1$

oder

$P_2(x_2|y_2) \quad \Rightarrow \quad f(x_2) = y_2 \quad \Rightarrow \quad a_1x_2 + a_0 = y_2 \quad \Rightarrow \quad a_0 = y_2 - a_1x_2$

Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz: $f(x)=g(x)\,$

Die Lösung $x_S\,$ dieser Gleichung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.

$y_S=f(x_S)=g(x_S)\,$ ist dann die y-Koordinate dieses Schnittpunktes $S(x_S|y_S).\,$

Orthogonale Geraden

Für die Steigungen $a_1$ und $a_2$ zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden $g_1$ und $g_2$ gilt:

$a_1 \cdot a_2=-1\,$

$a_1=-\frac{1} {a_2}\,$

$a_2=-\frac{1} {a_1}\,$

Ableitung und Stammfunktion

Die Ableitung von $f\left(x\right)=mx+n$ ist $f'\left(x\right)=m,$ also immer eine konstante Funktion (eine lineare Funktion lässt sich auch als Funktion mit konstanter Ableitung definieren), da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt $P(x|f\left(x\right))$ angibt.

Eine Stammfunktion von $f\,$ ist $F\left(x\right)=\frac{m}{2}x^2+nx.$ Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

$F'(x)=\left(\frac{m}{2}x^2+nx\right)'=\frac{m}{2}\cdot\left(x^2\right)'+n\cdot\left(x\right)'=\frac{m}{2}\cdot2x+n=mx+n=f(x)$

Literatur

• Manfred Leppig: Lernstufen Mathematik. Girardet 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 61-74

Weblinks

 Commons: Lineare Gleichungen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

 Commons: Lineare Funktionen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Rechner und Theorie zur linearen Funktion
• Lineare Funktionen – Einführung für Schüler (Video)
• Lineare Funktionen – Materialien zum selbstständigen Arbeiten für Schüler