Lineare Funktion

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Dieser Artikel behandelt die Funktionen in der elementaren Analysis. Für lineare Funktionen in der linearen Algebra siehe Lineare Abbildung.

Mit dem Begriff lineare Funktion wird oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Abbildung der Form

f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\quad\mbox{mit}\quad x\mapsto\ m\cdot x+n \; ; \quad m,n \in \mathbb{R},

also eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades, bezeichnet.

Im mathematisch strengen Sinne handelt es sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung, sondern um eine affine Abbildung, da die Linearitätsbedingung im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Erst für den Spezialfall n=0 wird daraus eine lineare Funktion im eigentlichen Sinne, auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet. Nur in Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall n \ne 0 auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt (siehe dazu auch Geradengleichung), was jedoch unter Umständen zu Verwirrungen führen kann. Trotzdem wird in diesem Artikel die häufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten.

Lineare Funktionen gehören zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Graph[Bearbeiten]

Steigungsdreiecke am Graph der linearen Funktion x \mapsto \tfrac{1}{2}x+2

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. In kartesischen Koordinaten (x,y) erfüllen solche Geraden also die Gleichung

y = m\cdot x + n,

wobei x (die Abszisse) eine unabhängige und y (die Ordinate) die abhängige Variable ist.

Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungskonventionen für den Funktionsterm, z. B. ax+b, mx+c, mx+b, mx+t oder ax+b. In Österreich wird häufig y=kx+d verwendet, in der Schweiz hingegen y=mx+q. In Belgien findet man auch y=mx+p oder y=kx+t.

Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren:

Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur y-Achse, da damit einem x mehr als ein y zugeordnet wäre. Dies würde der Definition einer Funktion als eindeutige Zuordnung widersprechen.

Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten[Bearbeiten]

Steigung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte (x_1|y_1) und (x_2|y_2) auf dem Graphen der linearen Funktion f liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung m lässt sich berechnen zu

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

Der y-Achsenabschnitt n ergibt sich zu

n = y_1 - m \cdot x_1 oder n = y_2 - m \cdot x_2.

Der gesuchte Funktionsterm f(x) ist also gegeben durch

f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x + \left(y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_1\right)

oder einfacher durch

f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) + y_1.

Zusammenfassung[Bearbeiten]

Funktionsgleichung[Bearbeiten]

Eine Funktion f\, mit f(x)=mx+n, heißt lineare Funktion. Für den Fall m \neq 0 werden ganzrationale Funktion 1. Grades oder Polynom 1. Grades als Bezeichnungen verwendet.
Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade.

Achsenschnittpunkte[Bearbeiten]

Schnittpunkt P mit der x-Achse: P(x_P|0)\Rightarrow f(x_P)=0\,
Schnittpunkt Q mit der y-Achse: Q(0|y_Q)\Rightarrow y_Q=f(0)\,

Steigung[Bearbeiten]

Zlinfkt 01.gif
Die Steigung \tan\alpha\, des Graphen einer linearen Funktion f\, lässt sich als Koeffizient a_1\, aus der Funktionsgleichung f(x)=mx+n\, ablesen.
Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:
\tan\alpha = \frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1} = \frac{y_2-y_1} {x_2-x_1} = \frac{\Delta y} {\Delta x}\,

Funktionsgleichung aufstellen[Bearbeiten]

  • Die Steigung m und ein Punkt P_1(x_1|y_1), der auf der Geraden liegt, seien bekannt.
Ansatz: f(x) = mx + n
P_1(x_1|y_1) \quad \Rightarrow \quad f(x_1) = y_1 \quad \Rightarrow \quad mx_1 + n = y_1  \quad \Rightarrow \quad n = y_1 - mx_1
  • Die Koordinaten zweier Punkte P_1(x_1|y_1) und P_2(x_2|y_2), die auf der Geraden liegen, seien bekannt.
Zuerst wird der Steigungsfaktor m=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1} berechnet, dann damit n\,:
P_1(x_1|y_1) \quad \Rightarrow  \quad f(x_1) = y_1 \quad \Rightarrow  \quad mx_1 + n = y_1  \quad \Rightarrow  \quad n = y_1 - mx_1
oder
P_2(x_2|y_2) \quad \Rightarrow  \quad f(x_2) = y_2 \quad \Rightarrow  \quad mx_2 + n = y_2  \quad \Rightarrow  \quad n = y_2 - mx_2

Schnittpunkt zweier Geraden[Bearbeiten]

Ansatz: f(x)=g(x)\,
Die Lösung x_S\, dieser Gleichung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.
y_S=f(x_S)=g(x_S)\, ist dann die y-Koordinate dieses Schnittpunktes S(x_S|y_S).\,

Orthogonale Geraden[Bearbeiten]

Für die Steigungen m_1 und m_2 zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden g_1 und g_2 gilt:
m_1 \cdot m_2=-1\,
m_1=-\frac{1} {m_2}\,
m_2=-\frac{1} {m_1}\,

Ableitung und Stammfunktion[Bearbeiten]

Die Ableitung von f\left(x\right)=mx+n ist f'\left(x\right)=m, also immer eine konstante Funktion (eine lineare Funktion lässt sich auch als Funktion mit konstanter Ableitung definieren), da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt P(x|f\left(x\right)) angibt.

Eine Stammfunktion von f\, ist F\left(x\right)=\frac{m}{2}x^2+nx. Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

F'(x)=\left(\frac{m}{2}x^2+nx\right)'=\frac{m}{2}\cdot\left(x^2\right)'+n\cdot\left(x\right)'=\frac{m}{2}\cdot2x+n=mx+n=f(x)

Grenzwerte[Bearbeiten]

Ist in einer Funktion f(x)=mx+n der Koeffizient m positiv, so gilt \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty und \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty. Der Graph entwickelt sich von „unten links“ nach „oben rechts“. Ist m jedoch negativ, gilt \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty und \lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty. Der Graph verläuft also von „oben links“ nach „unten rechts“. Bei dem Sonderfall m=0 liegt eine konstante Funktion vor, es gilt also \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} f(x) = n, der Graph verläuft in diesem Fall parallel zur x-Achse.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Lineare Gleichungen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Commons: Lineare Funktionen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien