Minimallösung

Minimallösung ist ein mathematischer Begriff, der sowohl in der Approximationstheorie als auch in der Optimierungstheorie als auch in den anderen Teilgebieten der Mathematik der Funktionalanalysis und der Numerische Mathematik eine bedeutende Rolle spielt.

Definition

Den Begriff findet man in einem weiteren und einem engeren Sinne.

Der Begriff im weiteren Sinne

Gegeben seien eine beliebige Menge $X$, eine Teilmenge $C\subseteq X$ sowie eine numerische Funktion $f\colon X\to {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$.

• Als Minimalwert von $f$ auf $C$ bezeichnet man das Infimum $\inf _{x\in C}{f(x)}$, wobei im Falle $C=\emptyset$ dieses Infimum $=+\infty$ gesetzt wird.
• Unter der Menge der Minimallösungen von $f$ auf $C$ versteht man die Teilmenge derjenigen Elemente von $C$, welche den Minimalwert von $f$ auf $C$ annehmen, also die Teilmenge $M(f,C):=\{c\in C\mid f(c)=\inf _{x\in C}{f(x)}\}$. Jedes dieser Elemente nennt man eine Minimallösung von $f$ auf $C$.
• Ist $X$ ein topologischer Raum und dabei $c_{0}\in C\subseteq X$, so heißt $c_{0}$ eine lokale Minimallösung von $f$ auf $C$, falls eine offene Umgebung $U$ von $c_{0}$ in $X$ derart existiert, dass $c_{0}$ eine Minimallösung von $f$ auf $U\cap C$ ist. Dieser Begriff ist vor allem wichtig für den Fall, dass $X$ ein metrischer oder ein normierter Raum ist.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Die obigen Infima existieren stets, da ${\bar {\mathbb {R} }}$, versehen mit der üblichen Totalordnung $\leq$, ein vollständiger Verband ist.
• In der Theorie der topologischen Vektorräume nennen manche Autoren eine Minimallösung im engeren Sinne auch Lotpunkt.
• Unter einem Maximalwert von $f$ auf $C$, einer Maximallösung von $f$ auf $C$ und einer lokalen Maximallösung von $f$ auf $C$ versteht man die durch Dualisierung entstehenden Begriffe, wenn man die Ordnungsrelation $\leq$ von ${\bar {\mathbb {R} }}$ nach $\geq$ umkehrt.

Der Begriff im engeren Sinne

Gegeben seien ein normierter Raum $X$ (über dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen oder dem Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen), der mit der Norm $\|\cdot \|\colon X\to {\mathbb {R} }_{0}^{+}$ versehen sein soll, sowie ein fester Raumpunkt $a\in X$ und weiter eine Teilmenge $V\subseteq X$.

• Hier betrachtet man – in Bezug auf die dadurch gegebene Abstandsfunktion $d(x,y)=\|x-y\|\;(x,y\in X)$!– die zu $a$ gehörige Funktion $d(a,\cdot )\colon X\to {\mathbb {R} }_{0}^{+}\subset {\bar {\mathbb {R} }}$ und wendet die oben im weiteren Sinne festgelegten Begriffsbildungen an. Ist dann eine Minimallösung von $d(a,\cdot )$ auf $V$ vorhanden, so hat man – bezüglich $V$ und $a$! – einen Punkt kürzesten Abstands, also einen solchen Raumpunkt $v_{0}\in V$, der dieses Abstandsinfimum annimmt und damit die Gleichung $\|v_{0}-a\|=\inf _{v\in V}{\|v-a\|}$ erfüllt.
• Man nennt dieses $v_{0}$ – insbesondere in Approximationstheorie – eine Minimallösung für $a$ bezüglich $V$, wobei man hier den Zusammenhang mit der Abstandsfunktion stillschweigend als gegeben unterstellt.

Sätze

Die folgenden Sätze zählen zu den Resultaten, die im Zusammenhang Fragestellungen zu Minimallösungen oft zur Anwendung kommen.

Minimallösungen in der konvexen Optimierung

Hier gilt der folgende Charakterisierungssatz der konvexen Optimierung:

Gegeben seien ein Vektorraum $X$ und darin eine konvexe Teilmenge $C\subseteq X$ sowie ein Raumpunkt $x_{0}\in X$. Weiter sei $f\colon C\to \mathbb {R}$ eine konvexe Funktion.

Dann ist $x_{0}$ genau dann eine Minimallösung von $f$ auf $C$, wenn für alle $x\in C$ in Hinblick auf das rechtsseitige Gâteaux-Differential die Ungleichung $\delta _{+}f(x_{0},x-x_{0})\geq 0$ erfüllt ist.

Minimallösungen in der Linearen Approximationstheorie

Hier kennt man einen Existenz- und Eindeutigkeitssatzsatz, der sich zusammengefasst wie folgt angeben lässt:

Sei $X$ ein strikt konvexer normierter Raum und sei darin eine abgeschlossene, lokalkompakte und konvexe Teilmenge $V\subseteq X$ gegeben. Dann gibt es zu jedem Raumpunkt $x_{0}\in X$ immer genau eine Minimallösung – also genau einen Lotpunkt! – $v_{0}\in V$. Dies gilt insbesondere dann, wenn $V$ in $X$ ein Untervektorraum endlicher Dimension ist.

Literatur

• Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4 (MR0165651). 
• Lothar Collatz, Werner Krabs: Approximationstheorie. Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen (= Teubner Studienbücher). B. G. Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02041-6 (MR0445153). 
• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674). 
• Gottfried Köthe: Topologische lineare Räume. I. (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 107). 2. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1966 (MR0194863 ). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung (= Springer Tracts in Natural Philosophy. Band 4). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 (MR0176272). 

Einzelnachweise

[[Kategorie:Funktionalanalysis] [[Kategorie:Numerische_Mathematik]