„Satz von Clement“ – Versionsunterschied

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Version vom 19. Januar 2022, 21:56 Uhr

Der Satz von Clement (englisch Clement’s theorem) ist ein von dem Mathematiker Paul Arnold Clement^{[A 1]} im Jahre 1949 vorgelegter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie, der sich mit der Untersuchung von charakteristischen Teilbarkeitseigenschaften bei Primzahlzwillingen befasst.^[1]^[2]^[3] Er ist verwandt mit dem Satz von Wilson und wie dieser mit elementaren Methoden beweisbar, wobei sich sogar zeigt, dass der Clement'sche Satz eine Verallgemeinerung gestattet, welche den Wilson'schen Satz miteinschließt.^[4]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen angeben:^[1]^[2]^[3]

Für eine gegebene natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ ist das Paar $(n,n+2)$ genau dann ein Primzahlzwilling, wenn die zugehörige natürliche Zahl ${4\cdot {\bigl (}(n-1)!+1{\bigr )}}+n$ durch $n\cdot (n+2)$ teilbar ist.^{[A 2]}

Mit anderen Worten: Es gilt für gegebenes $n\in \mathbb {N}$ stets

{4\cdot {\bigl (}(n-1)!+1{\bigr )}}+n\equiv 0{\pmod {n\cdot (n+2)}}\Longleftrightarrow (n,n+2)\ \mathrm {ist} \ \mathrm {Primzahlzwilling}

.^{[A 3]}

Beispiele

$(n_{1},n_{1}+2)=(3,5)$ ist ein Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{1}-1)!+1{\bigr )}}+n_{1}=15$ von $n_{1}\cdot (n_{1}+2)=15$ geteilt wird.
$(n_{2},n_{2}+2)=(5,7)$ ist ein Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{2}-1)!+1{\bigr )}}+n_{2}=105$ von $n_{2}\cdot (n_{2}+2)=35$ geteilt wird.
$(n_{3},n_{3}+2)=(7,9)$ ist KEIN Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{3}-1)!+1{\bigr )}}+n_{3}=2.891$ von $n_{3}\cdot (n_{3}+2)=63$ NICHT geteilt wird.
$(n_{4},n_{4}+2)=(9,11)$ ist KEIN Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{4}-1)!+1{\bigr )}}+n_{4}=161.293$ von $n_{4}\cdot (n_{4}+2)=99$ NICHT geteilt wird.
$(n_{5},n_{5}+2)=(11,13)$ ist ein Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{5}-1)!+1{\bigr )}}+n_{5}=14.515.215$ von $n_{5}\cdot (n_{5}+2)=143$ geteilt wird.
$(n_{6},n_{6}+2)=(13,15)$ ist KEIN Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{6}-1)!+1{\bigr )}}+n_{6}=1.916.006.417$ von $n_{6}\cdot (n_{6}+2)=195$ NICHT geteilt wird.

Literatur

P. A. Clement: Congruences for sets of primes. In: American Mathematical Monthly. Band 56, 1949, S. 23–25 (MR0027771).
Valeriu Popa: On a generalization of Clement's theorem. In: Studii şi Cercetări Matematice. Band 24, 1972, S. 1435–1440 (MR0354518).
Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer Science+ Business Media, LLC, New York 1996, ISBN 978-1-4612-6892-5, doi:10.1007/978-1-4612-0759-7 (MR1377060).
Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. Edited and with a preface by Andrzej Schinzel (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670).
Rebecca Waldecker^{[A 4]}, Lasse Rempe-Gillen: Primzahltests für Einsteiger: Zahlentheorie–Algorithmik–Kryptographie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-11216-5, doi:10.1007/978-3-658-11217-2.

Anmerkungen

↑ Paul Arnold Clement promovierte im Jahre 1949 an der University of California, Los Angeles, unter der Anleitung von Edwin Ford Beckenbach zum Ph.D..
↑ $!$ ist die Fakultätsfunktion.
↑ $\equiv$ ist die zahlentheoretische Kongruenzrelation.
↑ Rebecca Waldecker (Jahrgang 1979) ist Professorin für Algebra an der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg.

Einzelnachweise

↑ ^a ^b Rebecca Waldecker, Lasse Rempe-Gillen: Primzahltests für Einsteiger. 2016, S. 168
↑ ^a ^b Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. 1988, S. 224
↑ ^a ^b Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. 1996, S. 259
↑ Valeriu Popa: On a generalization of Clement's theorem. In: Studii şi Cercetări Matematice 24, S. 1435–1440

[1] Paul Arnold Clement promovierte im Jahre 1949 an der University of California, Los Angeles, unter der Anleitung von Edwin Ford Beckenbach zum Ph.D..

[6] $!$ ist die Fakultätsfunktion.

[7] $\equiv$ ist die zahlentheoretische Kongruenzrelation.

[8] Rebecca Waldecker (Jahrgang 1979) ist Professorin für Algebra an der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg.

[RW-LRG-01-2] Rebecca Waldecker, Lasse Rempe-Gillen: Primzahltests für Einsteiger. 2016, S. 168

[WS-01-3] Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. 1988, S. 224

[PR-01-4] Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. 1996, S. 259

[VP-01-5] Valeriu Popa: On a generalization of Clement's theorem. In: Studii şi Cercetări Matematice 24, S. 1435–1440

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-Der '''Satz von Clement''' ({{enS|Clement’s theorem}}) ist ein von dem [[Mathematiker]] [[Paul Arnold Clement]] im Jahre 1949 vorgelegter [[Lehrsatz]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiet]] der [[Zahlentheorie]], der sich mit der Untersuchung von  charakteristischen [[Teilbarkeit]]seigenschaften bei [[Primzahlzwilling]]en befasst.<ref name="RW-LRG-01">Rebecca Waldecker, Lasse Rempe-Gillen: ''Primzahltests für Einsteiger.'' 2016, S. 168</ref><ref name="WS-01">Wacław Sierpiński: ''Elementary Theory of Numbers.'' 1988, S. 224</ref> Er ist verwandt mit dem [[Satz von Wilson]] und wie dieser mit elementaren Methoden beweisbar, wobei sich sogar zeigt, dass der Clement'sche Satz eine Verallgemeinerung gestattet, welche den Wilson'schen Satz miteinschließt.<ref name="VP-01">Valeriu Popa: ''On a generalization of Clement's theorem.'' In: ''Studii şi Cercetări Matematice'' 24, S. 1435–1440</ref>
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 == Formulierung des Satzes ==
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