Führungskraft (Technische Mechanik)

Unter Führungskraft wird in der technischen Mechanik zweierlei verstanden:

• Die Zwangskraft, die bei gebundenen oder geführten Bewegungen durch das Führungselement ausgeübt werden, siehe Führungskraft (Physik), und
• die Kraft, die aus der Führungsbeschleunigung eines beschleunigten Bezugssystems resultiert und die ohne Berücksichtigung einer Relativbewegung im Bezugssystem ermittelt werden kann.

Dieser Artikel befasst sich mit letzterer Bedeutung.

Führungsgrößen in einem beschleunigten Bezugssystem

Siehe auch: Beschleunigtes Bezugssystem

Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K’

Im physikalischen Raum wird ein Punkt P betrachtet, der im Inertialsystem K den Ortsvektor ${\vec {r}}$ hat, siehe Bild. Am Ort ${\vec {R}}$ befindet sich ein Bezugssystem K’ mit Orthonormalbasis ê’_1,2,3, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ dreht. In K’ hat P den Ortsvektor $\textstyle {\vec {r}}'=\sum _{i}\xi _{i}{\hat {e}}'_{i}={\vec {r}}-{\vec {R}}$. Die Zeitableitung des Ortsvektors in K lautet

${\begin{aligned}{\dot {\vec {r}}}=&{\dot {\vec {R}}}+{\dot {\vec {r}}}'={\dot {\vec {R}}}+\sum _{i}{\dot {\xi }}_{i}{\hat {e}}'_{i}+\sum _{i}\xi _{i}{\dot {\hat {e}}}'_{i}={\dot {\vec {R}}}+\overbrace {\sum _{i}{\dot {\xi }}_{i}{\hat {e}}'_{i}} ^{{\vec {v}}'}+\overbrace {\sum _{i}\xi _{i}{\vec {\omega }}\times {\hat {e}}'_{i}} ^{{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'}\\=&\underbrace {{\dot {\vec {R}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'} _{{\vec {v}}_{f}}+{\vec {v}}'={\vec {v}}_{f}+{\vec {v}}'\end{aligned}}$

Nochmalige Zeitableitung liefert die Beschleunigung in K:

${\begin{aligned}{\ddot {\vec {r}}}=&{\ddot {\vec {R}}}+\overbrace {\sum _{i}{\ddot {\xi }}_{i}{\hat {e}}'_{i}} ^{{\vec {a}}'}+\overbrace {\sum _{i}{\dot {\xi }}_{i}{\dot {\hat {e}}}'_{i}+\sum _{i}{\dot {\xi }}_{i}{\vec {\omega }}\times {\hat {e}}'_{i}} ^{2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'}+\overbrace {\sum _{i}\xi _{i}{\dot {\vec {\omega }}}\times {\hat {e}}'_{i}} ^{{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'}+\overbrace {\sum _{i}\xi _{i}{\vec {\omega }}\times {\dot {\hat {e}}}'_{i}} ^{{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')}\\=&\underbrace {{\ddot {\vec {R}}}+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')} _{{\vec {a}}_{f}}+2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'+{\vec {a}}'={\vec {a}}_{f}+2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'+{\vec {a}}'\end{aligned}}$

Die Bewegungsanteile, die weder die Relativgeschwindigkeit ${\vec {v}}'$ noch Relativbeschleunigung ${\vec {a}}'$ enthalten, bilden die Führungsgeschwindigkeit bzw. die Führungsbeschleunigung

${\begin{aligned}{\vec {v}}_{f}=&{\dot {\vec {R}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\\{\vec {a}}_{f}=&{\ddot {\vec {R}}}+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')\end{aligned}}$

Mit der Führungsbeschleunigung und der Masse m bildet sich die Führungskraft

${\vec {F}}_{f}=m{\vec {a}}_{f}=m{\big (}{\ddot {\vec {R}}}+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'){\big )}=m{\ddot {\vec {R}}}-{\vec {F}}_{\text{Euler}}-{\vec {F}}_{\text{Zentrifugal}}$

Die beiden letzten Subtrahenden sind die Eulerkraft und die Zentrifugalkraft; die Corioliskraft ${\vec {F}}_{c}=-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$ ist nicht enthalten.

Beispiel

Bewegung einer Masse m entlang einer Schraubenlinie

Betrachtet wird eine Punktmasse mit der Masse m, die sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ${\dot {\varphi }}=\Omega$ auf einer Schraubenlinie mit Radius R um einen Punkt ${\vec {s}}$ bewegt, der sich mit konstanter Translationsgeschwindigkeit ${\vec {v}}_{s}$ verschiebt, siehe Bild. Das Bezugssystem K’ wird in den Punkt ${\vec {R}}={\vec {s}}$ gelegt mit der festen Position des Massenpunktes ${\vec {r}}'=R{\hat {e}}_{\rho }$ in K’. Dann lautet die Bewegungsfunktion:

${\vec {r}}={\vec {s}}+R{\hat {e}}_{\rho }.$

Die Basisvektoren ê_ρ,φ (schwarze Pfeile) bezeichnen wie in einem Zylinderkoordinatensystem die radiale bzw. die azimutale Richtung und die Drehachse ê_z ist zu ihnen senkrecht, sodass ê_ρ,φ,z ein Rechtssystem bilden. Mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}=\Omega {\hat {e}}_{z}$ berechnen sich die Zeitableitungen der Basisvektoren:

${\dot {\hat {e}}}_{\rho }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\rho }=\Omega {\hat {e}}_{\varphi }\quad {\text{und}}\quad {\dot {\hat {e}}}_{\varphi }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\varphi }=-\Omega {\hat {e}}_{\rho }.$

Damit liegen die Führungsgeschwindigkeit und -beschleunigung fest:

${\begin{aligned}{\vec {v}}_{f}=&{\dot {\vec {R}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'={\vec {v}}_{s}+\Omega {\hat {e}}_{z}\times R{\hat {e}}_{\rho }={\vec {v}}_{s}+\Omega R{\hat {e}}_{\varphi }\\{\vec {a}}_{f}=&\underbrace {\ddot {\vec {R}}} _{\vec {0}}+\underbrace {\dot {\vec {\omega }}} _{\vec {0}}\times {\vec {r}}'+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')=\Omega {\hat {e}}_{z}\times (\Omega {\hat {e}}_{z}\times R{\hat {e}}_{\rho })=\Omega {\hat {e}}_{z}\times \Omega R{\hat {e}}_{\varphi }=-\Omega ^{2}R{\hat {e}}_{\rho }\end{aligned}}$

Die Führungskraft

${\vec {F}}_{f}=m{\vec {a}}_{f}=-m\Omega ^{2}R{\hat {e}}_{\rho }$

entspricht der Zentripetalkraft, die auf die Punktmasse wirken muss, damit sie im Inertialsystem, das sich mit der gleichbleibenden Führungsgeschwindigkeit ${\dot {\vec {s}}}={\dot {\vec {R}}}={\vec {v}}_{f}$ bewegt, eine Kreisbewegung um ${\vec {s}}$ ausführt.