„Kommutative Algebra“ – Versionsunterschied
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Die '''kommutative Algebra''' ist das [[Teilgebiet der Mathematik]] im Bereich der [[Algebra]], das sich mit [[Kommutativer Ring|kommutativen Ringen]] sowie deren [[Ideal (Mathematik)|Idealen]], [[Modul (Mathematik)|Moduln]] und [[Algebra (Struktur)|Algebren]] befasst. Sie ist grundlegend für die Gebiete der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] und der [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]]. Ein wichtiges Beispiel für kommutative Ringe sind [[Polynomring]]e. |
Die '''kommutative Algebra''' ist das [[Teilgebiet der Mathematik]] im Bereich der [[Algebra]], das sich mit [[Kommutativer Ring|kommutativen Ringen]] sowie deren [[Ideal (Mathematik)|Idealen]], [[Modul (Mathematik)|Moduln]] und [[Algebra (Struktur)|Algebren]] befasst. Sie ist grundlegend für die Gebiete der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] und der [[Algebraische Zahlentheorie|algebraischen Zahlentheorie]]. Ein wichtiges Beispiel für kommutative Ringe sind [[Polynomring]]e. |
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Als Begründer der kommutativen Algebra kann man [[David Hilbert]] nennen. Er scheint die ''Idealtheorie'' (so wurde die kommutative Algebra ursprünglich genannt) als alternativen Zugang zu zahlreichen Fragestellungen angesehen zu haben, der die damals dominierende [[Funktionentheorie]] ablösen könnte. In diesem Zusammenhang waren ihm strukturelle Aspekte wichtiger als algorithmische; mit der wachsenden Leistungsfähigkeit von [[Computeralgebrasystem]]en haben aber konkrete Berechnungen stark an Bedeutung innerhalb der kommutativen Algebra gewonnen. |
Als Begründer der kommutativen Algebra kann man [[David Hilbert]] nennen.<ref>{{Literatur |Autor=[[David Eisenbud]] |Titel=Commutative Algebra |Verlag=Springer Science+Business Media |Ort=New York |Datum=1995 |DOI=10.1007/978-1-4612-5350-1}}</ref> Er scheint die ''Idealtheorie'' (so wurde die kommutative Algebra ursprünglich genannt) als alternativen Zugang zu zahlreichen Fragestellungen angesehen zu haben, der die damals dominierende [[Funktionentheorie]] ablösen könnte. In diesem Zusammenhang waren ihm strukturelle Aspekte wichtiger als algorithmische; mit der wachsenden Leistungsfähigkeit von [[Computeralgebrasystem]]en haben aber konkrete Berechnungen stark an Bedeutung innerhalb der kommutativen Algebra gewonnen. Das Konzept der Moduln, das in Grundzügen auf [[Leopold Kronecker]] zurückgeht, verallgemeinert die Theorie der Ideale, die es als Spezialfall enthält. Diese Methoden wurden von [[Emmy Noether]] in die kommutative Algebra eingeführt und sind heute unverzichtbar.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.mpg.de/16548098/emmy-noether |titel="Without Emmy Noether, there would be a huge gap in mathematics and its understanding" |hrsg=[[Max-Planck-Gesellschaft]] |sprache=en |abruf=2022-10-28}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Jeremy Gray |Titel=Emmy Noether |Sammelwerk=A History of Abstract Algebra |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2018 |Sprache=en |ISBN=978-3-319-94772-3 |DOI=10.1007/978-3-319-94773-0_28 |Seiten=289–295 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-319-94773-0_28 |Abruf=2022-10-28}}</ref> |
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Das Konzept der Moduln, das in Grundzügen auf [[Leopold Kronecker]] zurückgeht, verallgemeinert die Theorie der Ideale, die es als Spezialfall enthält. Diese Methoden wurden von [[Emmy Noether]] in die kommutative Algebra eingeführt und sind heute unverzichtbar. |
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Die Theorie allgemeiner Ringe, die nicht kommutativ sein müssen, wird als [[nichtkommutative Algebra]] bezeichnet. |
Die Theorie allgemeiner Ringe, die nicht kommutativ sein müssen, wird als [[nichtkommutative Algebra]] bezeichnet. |
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== Literatur == |
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* [[Michael Francis Atiyah|M. F. Atiyah]], [[Ian Macdonald|I. G. MacDonald]]: ''Introduction to Commutative Algebra.'' Oxford 1969, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.<br />Knappe Einführung, Standardwerk. |
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* Hideyuki Matsumura: ''Commutative Algebra.'' W. A. Benjamin, New York 1970.<br />Umfangreicher als ''Commutative Ring Theory,'' aber vergriffen. |
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* [[Oscar Zariski]], [[Pierre Samuel]]: ''Commutative Algebra.'' 2 Bde., Springer-Verlag, New York 1975, ISBN 0-387-90089-6. |
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* Hideyuki Matsumura: ''Commutative Ring Theory.'' Cambridge University Press, Cambridge 1989, ISBN 0-521-36764-6. |
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* Yves Diers: ''Categories of Commutative Algebras.'' Oxford University Press, 1992, ISBN 0-198-53586-4. |
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* [[David Eisenbud]]: ''Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry.'' Springer-Verlag, New York 1996, ISBN 0-387-94269-6.<br />Umfangreiches Standardwerk. |
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* {{Literatur |Autor=Jürgen Böhm |Titel=Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Jahr=2019 |ISBN=978-3-662-59481-0 |DOI=10.1007/978-3-662-59482-7}} |
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* {{Literatur |Autor=[[David Eisenbud]] |Titel=Commutative Algebra |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Jahr=1995 |Sprache=en |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=150 |ISBN=978-3-540-78122-6 |DOI=10.1007/978-1-4612-5350-1}} |
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* {{Literatur |Autor=Oscar Zariski, Pierre Samuel |Titel=Commutative Algebra Vol. I |Band=28 |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Jahr=1975 |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=28 |ISBN=978-0-387-90089-6 |Online=https://link.springer.com/book/9780387900896}} |
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* {{Literatur |Autor=[[Oscar Zariski]], [[Pierre Samuel]] |Titel=Commutative Algebra Vol. II |Band=29 |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Jahr=1960 |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=29 |ISBN=978-3-662-27753-9 |DOI=10.1007/978-3-662-29244-0}} |
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== Einzelnachweise == |
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Version vom 28. Oktober 2022, 16:51 Uhr
Die kommutative Algebra ist das Teilgebiet der Mathematik im Bereich der Algebra, das sich mit kommutativen Ringen sowie deren Idealen, Moduln und Algebren befasst. Sie ist grundlegend für die Gebiete der algebraischen Geometrie und der algebraischen Zahlentheorie. Ein wichtiges Beispiel für kommutative Ringe sind Polynomringe.
Als Begründer der kommutativen Algebra kann man David Hilbert nennen.[1] Er scheint die Idealtheorie (so wurde die kommutative Algebra ursprünglich genannt) als alternativen Zugang zu zahlreichen Fragestellungen angesehen zu haben, der die damals dominierende Funktionentheorie ablösen könnte. In diesem Zusammenhang waren ihm strukturelle Aspekte wichtiger als algorithmische; mit der wachsenden Leistungsfähigkeit von Computeralgebrasystemen haben aber konkrete Berechnungen stark an Bedeutung innerhalb der kommutativen Algebra gewonnen. Das Konzept der Moduln, das in Grundzügen auf Leopold Kronecker zurückgeht, verallgemeinert die Theorie der Ideale, die es als Spezialfall enthält. Diese Methoden wurden von Emmy Noether in die kommutative Algebra eingeführt und sind heute unverzichtbar.[2][3]
Die Theorie allgemeiner Ringe, die nicht kommutativ sein müssen, wird als nichtkommutative Algebra bezeichnet.
Übliche Annahmen
In der kommutativen Algebra werden die Bezeichnungen Modul, Ring und Algebra üblicherweise in einem engeren Sinn benutzt:
- Alle Moduln sind unitär: Wenn das Einselement des Ringes ist, dann gilt für alle Elemente des Moduls:
- Alle Ringe sind unitär und kommutativ.
- Homomorphismen zwischen Ringen bilden Einselemente auf Einselemente ab.
- Ein Unterring hat dasselbe Einselement wie der Oberring.
- Alle Algebren sind unitär, kommutativ und assoziativ.
Literatur
- Jürgen Böhm: Kommutative Algebra und Algebraische Geometrie. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2019, ISBN 978-3-662-59481-0, doi:10.1007/978-3-662-59482-7.
- David Eisenbud: Commutative Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 150). Springer New York, New York, NY 1995, ISBN 978-3-540-78122-6, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1 (englisch).
- Oscar Zariski, Pierre Samuel: Commutative Algebra Vol. I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 28). Band 28. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1975, ISBN 978-0-387-90089-6 (springer.com).
- Oscar Zariski, Pierre Samuel: Commutative Algebra Vol. II (= Graduate Texts in Mathematics. Band 29). Band 29. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1960, ISBN 978-3-662-27753-9, doi:10.1007/978-3-662-29244-0.
Einzelnachweise
- ↑ David Eisenbud: Commutative Algebra. Springer Science+Business Media, New York 1995, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1.
- ↑ "Without Emmy Noether, there would be a huge gap in mathematics and its understanding". Max-Planck-Gesellschaft, abgerufen am 28. Oktober 2022 (englisch).
- ↑ Jeremy Gray: Emmy Noether. In: A History of Abstract Algebra. Springer International Publishing, Cham 2018, ISBN 978-3-319-94772-3, S. 289–295, doi:10.1007/978-3-319-94773-0_28 (englisch, springer.com [abgerufen am 28. Oktober 2022]).