„Fixpunktsatz“ – Versionsunterschied
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Ein '''Fixpunktsatz''' ist in der [[Mathematik]] ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen die Existenz von [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkten]] einer Abbildung <math>f\colon X\to X</math> garantiert. Das heißt, der Satz garantiert die Existenz eines Punktes <math>x\in X</math> mit <math>f(x)\,=\,x</math>. |
Ein '''Fixpunktsatz''' ist in der [[Mathematik]] ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen die Existenz von [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkten]] einer Abbildung <math>f\colon X\to X</math> garantiert. Das heißt, der Satz garantiert die Existenz eines Punktes <math>x\in X</math> mit <math>f(x)\,=\,x</math>.<ref>{{Literatur |Autor=[[Dirk Werner]] |Titel=Funktionalanalysis |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2018 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-662-55406-7 |DOI=10.1007/978-3-662-55407-4 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-55407-4 |Abruf=2022-11-06}}</ref> |
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In vielen [[Teilgebiet der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]] sucht man Aussagen über die Existenz von Fixpunkten. Einer der bekanntesten Fixpunktsätze ist der [[Fixpunktsatz von Banach]]. Mit dessen Hilfe kann der [[Satz von Picard-Lindelöf]] bewiesen werden, der eine eindeutige Lösung bestimmter [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]] sichert. Im Gegensatz zu anderen Fixpunktsätzen ergibt der Fixpunktsatz von Banach auch die Eindeutigkeit des Fixpunktes. |
In vielen [[Teilgebiet der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]] sucht man Aussagen über die Existenz von Fixpunkten. Einer der bekanntesten Fixpunktsätze ist der [[Fixpunktsatz von Banach]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Stefan Banach]] |Titel=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales |Sammelwerk=Fundamenta Mathematicae |Band=3 |Nummer=1 |Datum=1922 |ISSN=0016-2736 |Seiten=133–181 |Online=https://eudml.org/doc/213289 |Abruf=2022-11-06}}</ref> Mit dessen Hilfe kann der [[Satz von Picard-Lindelöf]] bewiesen werden, der eine eindeutige Lösung bestimmter [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]] sichert. Im Gegensatz zu anderen Fixpunktsätzen ergibt der Fixpunktsatz von Banach auch die Eindeutigkeit des Fixpunktes.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Michael Růžička |Titel=Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2020 |ISBN=978-3-662-62190-5 |DOI=10.1007/978-3-662-62191-2 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-62191-2 |Abruf=2022-11-06}}</ref> |
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Der [[Fixpunktsatz von Schauder]] ist ebenfalls im Bereich der Analysis wichtig. Eigentlich ist er ein Satz aus der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und wird mithilfe des Fixpunktsatzes von Brouwer bewiesen. Jedoch kann man aus ihm beispielsweise den [[Satz von Peano]] herleiten, der ebenfalls die Existenz einer Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung sichert. Eine zentrale Rolle spielt dieser Satz auch in der nichtlinearen Funktionalanalysis. So lässt sich eine anwendungsreiche Version des Satzes für nichtlineare [[Kompakter Operator|kompakte Operatoren]] formulieren. |
Der [[Fixpunktsatz von Schauder]] ist ebenfalls im Bereich der Analysis wichtig. Eigentlich ist er ein Satz aus der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und wird mithilfe des Fixpunktsatzes von Brouwer bewiesen. Jedoch kann man aus ihm beispielsweise den [[Satz von Peano]] herleiten, der ebenfalls die Existenz einer Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung sichert. Eine zentrale Rolle spielt dieser Satz auch in der [[Nichtlineare Funktionalanalysis|nichtlinearen Funktionalanalysis]].<ref name=":0" /> So lässt sich eine anwendungsreiche Version des Satzes für nichtlineare [[Kompakter Operator|kompakte Operatoren]] formulieren. |
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|Jahr=1985 |
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Version vom 6. November 2022, 15:51 Uhr
Ein Fixpunktsatz ist in der Mathematik ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen die Existenz von Fixpunkten einer Abbildung garantiert. Das heißt, der Satz garantiert die Existenz eines Punktes mit .[1]
Überblick
In vielen Teilgebieten der Mathematik sucht man Aussagen über die Existenz von Fixpunkten. Einer der bekanntesten Fixpunktsätze ist der Fixpunktsatz von Banach.[2] Mit dessen Hilfe kann der Satz von Picard-Lindelöf bewiesen werden, der eine eindeutige Lösung bestimmter gewöhnlicher Differentialgleichungen sichert. Im Gegensatz zu anderen Fixpunktsätzen ergibt der Fixpunktsatz von Banach auch die Eindeutigkeit des Fixpunktes.[3]
Der Fixpunktsatz von Schauder ist ebenfalls im Bereich der Analysis wichtig. Eigentlich ist er ein Satz aus der Topologie und wird mithilfe des Fixpunktsatzes von Brouwer bewiesen. Jedoch kann man aus ihm beispielsweise den Satz von Peano herleiten, der ebenfalls die Existenz einer Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung sichert. Eine zentrale Rolle spielt dieser Satz auch in der nichtlinearen Funktionalanalysis.[3] So lässt sich eine anwendungsreiche Version des Satzes für nichtlineare kompakte Operatoren formulieren.
Liste von Fixpunktsätzen
Im Folgenden werden Fixpunktsätze unterteilt nach ihren Fachgebieten aufgelistet. Diese Liste ist natürlich unvollständig.
Analysis und Funktionalanalysis
- Fixpunktsatz von Banach
- Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk
- Fixpunktsatz für ganze Funktionen
- Fixpunktsatz von Kakutani
- Fixpunktsatz von Krasnoselski
- Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski
- Fixpunktsatz von Schauder
- Fixpunktsatz von Weissinger
Differentialgeometrie
Gruppentheorie
Verbandstheorie
Logik
Topologie
Informatik
Kategorientheorie
Literatur
- Saleh Almezel, Qamrul Hasan Ansari, Mohamed Amine Khamsi (Hrsg.): Topics in Fixed Point Theory. Springer International Publishing, Cham 2014, ISBN 978-3-319-01585-9, doi:10.1007/978-3-319-01586-6 (englisch).
- Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1985, ISBN 978-3-662-00549-1, doi:10.1007/978-3-662-00547-7.
- Vittorino Pata: Fixed Point Theorems and Applications (= UNITEXT. Band 116). Springer International Publishing, Cham 2019, ISBN 978-3-03019669-1, doi:10.1007/978-3-030-19670-7 (englisch).
- Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 8., vollständig überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, doi:10.1007/978-3-662-55407-4.
- Eberhard Zeidler: Applied Functional Analysis (= Jerrold Marsden, L. Sirovich [Hrsg.]: Applied Mathematical Sciences. Band 108). Springer New York, New York, NY 1995, ISBN 978-1-4612-6910-6, doi:10.1007/978-1-4612-0815-0 (englisch).
Einzelnachweise
- ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, doi:10.1007/978-3-662-55407-4 (springer.com [abgerufen am 6. November 2022]).
- ↑ Stefan Banach: Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales. In: Fundamenta Mathematicae. Band 3, Nr. 1, 1922, ISSN 0016-2736, S. 133–181 (eudml.org [abgerufen am 6. November 2022]).
- ↑ a b Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2020, ISBN 978-3-662-62190-5, doi:10.1007/978-3-662-62191-2 (springer.com [abgerufen am 6. November 2022]).