„Fresnel-Integral“ – Versionsunterschied
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Als '''Fresnel-Integrale''' werden in der [[Mathematik]], insbesondere im Teilgebiet der [[Analysis]], zwei [[Uneigentliches Integral|uneigentliche Integrale]] |
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=\int_{-\infty}^{\infty}\sin(t^2)\,\mathrm{d}t = \tfrac12\sqrt{2\pi} |
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heißen Fresnel-Integrale. Sie ergeben sich aus dem [[Fehlerintegral|gaußschen Fehlerintegral]] unter Benutzung des [[Cauchyscher Integralsatz|cauchyschen Integralsatzes]]. |
heißen Fresnel-Integrale. Sie ergeben sich aus dem [[Fehlerintegral|gaußschen Fehlerintegral]] unter Benutzung des [[Cauchyscher Integralsatz|cauchyschen Integralsatzes]]. |
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Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von <math>\alpha</math>, der antisymmetrische Sinus wechselt das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]. Aus der Addition ergibt sich mit <math>\sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}}</math> und <math>-1=e^{i\pi}</math> und einer Fallunterscheidung für die [[Signumfunktion]] als Lösung des Fresnel-Integrals |
Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von <math>\alpha</math>, der antisymmetrische Sinus wechselt das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]. Aus der Addition ergibt sich mit <math>\sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}}</math> und <math>-1=e^{i\pi}</math> und einer Fallunterscheidung für die [[Signumfunktion]] als Lösung des Fresnel-Integrals |
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:<math>\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}\cdot \sqrt{\frac{i\pi}{\alpha}}=1\,.</math> |
:<math>\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}\cdot \sqrt{\frac{i\pi}{\alpha}}=1\,.</math> |
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Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet. |
Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet. |
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Version vom 11. Februar 2023, 21:27 Uhr
Als Fresnel-Integrale werden in der Mathematik, insbesondere im Teilgebiet der Analysis, zwei uneigentliche Integrale bezeichnet, die nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel benannt sind.
Definition
Die beiden Integrale
heißen Fresnel-Integrale. Sie ergeben sich aus dem gaußschen Fehlerintegral unter Benutzung des cauchyschen Integralsatzes.
Geschichte
Fresnel beschäftigte sich um 1819 mit diesen Integralen. Euler betrachtete schon 1781 die allgemeineren Integrale
und
Fresnel-Integrale in der Quantenmechanik
Sie spielen auch eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik. Der Ansatz, die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten, basiert auf Integralen der Form:
Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante ist
- ,
ist eine ganze natürliche Zahl. Für ist das Integral
und heißt dann Fresnel-Integral. Integrale dieser Form tauchen in der aus den feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrödingergleichung auf.
Aus dem Fresnel-Integral ergibt sich eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch
- und
Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von , der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen. Aus der Addition ergibt sich mit und und einer Fallunterscheidung für die Signumfunktion als Lösung des Fresnel-Integrals
Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet.
Literatur
- Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-59075-7, S. 178 f.
- Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, S. 47.