Malliavin-Ableitung

Die Malliavin-Ableitung (auch stochastische Ableitung genannt) ist ein Begriff aus dem Malliavin-Kalkül und bezeichnet die Ableitung einer Zufallsvariable bezüglich eines Ergebnisses $\omega \in \Omega$. Da Zufallsvariablen fast sicher definiert sind und $\Omega$ im Allgemeinen nicht die passende topologische Struktur besitzt, versagt der klassische Ableitungsbegriff und es muss ein neuer Differenzierungsoperator definiert werden.

Die Malliavin-Ableitung ist nach dem französischen Mathematiker Paul Malliavin benannt.

Malliavin-Ableitung

Mit $C_{p}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ notieren wir den Raum der glatten Funktionen, deren partiellen Ableitungen polynomiales Wachstum besitzen, d. h. $|f^{(k)}(x)|\leq C(1+|x|^{n})$ für alle $k$ und ein $n$.

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum und $W$ ein isonormaler Gauß-Prozess auf einem separablen Hilbert-Raum $H$ und ${\mathcal {F}}:=\sigma (W)$. Definiere die Klasse ${\mathcal {S}}$ glatter Zufallsvariablen der Form

$F=f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))$

für $h_{1},\dots ,h_{n}\in H,\;f\in C_{p}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ und $n\in \mathbb {N}$.

Die Malliavin-Ableitung einer Zufallsvariable $F\in {\mathcal {S}}$ ist die $H$-wertige Zufallsvariable

$DF=\sum \limits _{i=1}^{n}\partial _{i}f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))\otimes h_{i}.$

Die Richtungsableitung nach $h\in H$ ist dann definiert als

$D^{h}F=\langle DF,h\rangle _{H}=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}[f(W(h_{1})+\varepsilon \langle h_{1},h\rangle _{H},\dots ,W(h_{n})+\varepsilon \langle h_{n},h\rangle _{H})-f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))].$

Erläuterungen

• Die Ableitung hängt nicht von der Darstellung von $F$ ab.
• Der Operator $D$ lässt sich zu einem eindeutigen, abgeschlossenen Operator $D:L^{p}(\Omega )\to L^{p}(\Omega ;H)$ für $p\geq 1$ erweitern.
• Die Domäne von $D$ in $L^{p}(\Omega )$, d.h. der Abschluss von ${\mathcal {S}}$, wird üblicherweise mit $\mathbb {D} ^{1,p}$ notiert. Der Ableitungsprozess wird häufig als $\{D_{t}F,t\in T\}$ respektive allgemeiner für $F\in \mathbb {D} ^{k,p}$ als $\{D_{t_{1},\dots ,t_{k}}^{k}F,t_{i}\in T\}$ notiert.

Beispiele

• Wir betrachten das kanonische Modell $\Omega =C_{0}([0,1];\mathbb {R} )$ und

$F=f(W(t_{1}),\dots ,W(t_{n})),\quad f\in C_{p}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\quad 0\leq t_{1}<\cdots <t_{n}\leq 1$

mit weißem Rauschen

$W(t_{i})=W(1_{[0,t_{i}]})=\int _{0}^{t_{i}}\mathrm {d} W_{t},$

dann ist Ableitung in Richtung $h\in H$ gegeben durch

${}{\begin{aligned}\langle DF,h\rangle _{H}&=\sum \limits _{i=1}^{n}\partial _{i}f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))\int _{0}^{t_{i}}h(s)\mathrm {d} s\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}F\left(\omega +\varepsilon \int _{0}^{\cdot }h(s)\mathrm {d} s\right){\bigg |}_{\varepsilon =0}\end{aligned}}.$

Partielle Integration

Sei $F,G\in {\mathcal {S}}$ und $h\in H$, dann gilt

$\mathbb {E} [\langle DF,h\rangle _{H}]=\mathbb {E} [FW(h)]$

und daraus folgt

$\mathbb {E} [G\langle DF,h\rangle _{H}]=\mathbb {E} [-F\langle DG,h\rangle _{H}+FGW(h)].$

Literatur

• David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, doi:10.1007/3-540-28329-3. 
• Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 465–486, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.