„Kapsel (Geometrie)“ – Versionsunterschied

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[[File:Capsule_geometry.svg|right|thumb|250px|A two-dimensional [[3D projection#Orthographic projection|orthographic projection]] at the left with a three-dimensional one at the right depicting a capsule]]


A '''capsule''' (from [[Latin]] ''[[wikt:capsula#Latin|capsula]]'', "small box or chest"), or '''[[Stadium (geometry)|stadium]] of revolution''', is a basic three-dimensional [[geometric shape]] consisting of a [[cylinder (geometry)|cylinder]] with [[Sphere#Hemisphere|hemispherical]] ends.<ref>{{cite journal
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Eine '''Kapsel''' (von [[Latein|lateinisch]] [[wiktionary:capsula#Latin|''capsula'']], „kleine Kiste oder Truhe“) oder ein [[:en:Stadium_(geometry)|Stadium]] '''der [[Drehung]]''' ist eine dreidimensionale [[Geometrische Figur|geometrische Grundfigur]], die aus einem [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] mit [[Kugel|halbkugelförmigen]] Enden besteht.<ref>{{cite journal |last1=Sarkar |first1=Dipankar |last2=Halas |first2=N. J. |title=General vector basis function solution of Maxwell's equations |journal=Physical Review E |issue=1, part B |volume=56 |pages=1102–1112 |year=1997 |doi=10.1103/PhysRevE.56.1102 |mr=1459098}}</ref> Ein anderer Name für diese Form ist '''Sphärozylinder'''.<ref>{{cite journal |last=Kihara |first=Taro |title=The Second Virial Coefficient of Non-Spherical Molecules |journal=Journal of the Physical Society of Japan |issue=5 |volume=6 |pages=289–296 |date=1951 |doi=10.1143/JPSJ.6.289}}</ref><ref>{{cite journal |last=Frenkel |first=Daan |title=Onsager's spherocylinders revisited |journal=Journal of Physical Chemistry |issue=19 |volume=91 |pages=4912–4916 |date=September 10, 1987 |doi=10.1021/j100303a008 |hdl=1874/8823 |s2cid=96013495}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Dzubiella |first1=Joachim |last2=Schmidt |first2=Matthias |last3=Löwen |first3=Hartmut |title=Topological defects in nematic droplets of hard spherocylinders |journal=[[Physical Review E]] |issue=4 |volume=62 |pages=5081–5091 |year=2000 |arxiv=cond-mat/9906388 |doi=10.1103/PhysRevE.62.5081 |pmid=11089056 |bibcode=2000PhRvE..62.5081D |author3-link=Hartmut Löwen |s2cid=31381033}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Pournin |first1=Lionel |last2=Weber |first2=Mats |last3=Tsukahara |first3=Michel |last4=Ferrez |first4=Jean-Albert |last5=Ramaioli |first5=Marco |last6=Liebling |first6=Thomas M. |title=Three-dimensional distinct element simulation of spherocylinder crystallization |journal=Granular Matter |issue=2–3 |volume=7 |pages=119–126 |year=2005 |doi=10.1007/s10035-004-0188-4 |doi-access=free}}</ref>
It can also be referred to as an [[oval]] although the sides (either vertical or horizontal) are straight [[Parallel (geometry)|parallel]].


Es kann auch als [[Oval]] bezeichnet werden, obwohl die Seiten (vertikal oder horizontal) gerade [[parallel]] sind.
== Usages ==
The shape is used for some objects like [[Pressure vessel#Cylindrical vessel with hemispherical ends|containers for pressurised gases]], [[window]]s of places like a [[Airplane|jet]], [[Button (computing)|software buttons]], [[Dome|building domes]] (like the [[U.S. Capitol]], having the windows of the top hat that depict [[The Apotheosis of Washington]] inside designed with the appearance of the shape & placed in an [[wikt:omnidirectional|omnidirectional]] [[pattern]]), [[mirror]]s, and [[capsule (pharmacy)|pharmaceutical capsules]].


== Verwendungen ==
In [[chemistry]] and [[physics]], this shape is used as a basic model for non-spherical particles. It appears, in particular as a model for the molecules in [[liquid crystal]]s<ref>{{cite journal
Die Figur wird für einige Objekte verwendet, wie [[Druckbehälter]], [[Fenster]] von Orten wie einem [[Flugzeug|Jet]], [[Schaltfläche|Softwareknöpfe]], [[Kuppel|Gebäudekuppeln]] (wie das Innere des [[Kapitol der Vereinigten Staaten|US-Kapitols]], bei dem die Fenster des Zylinders, die [[The Apotheosis of Washington|die Apotheose von Washington]] darstellen, das Aussehen der Figur hat, platziert in einem omnidirektionalen [[Muster (Struktur)|Muster]]), [[Spiegel]] und [[Kapsel (Medikament)|pharmazeutischen Kapseln]].
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In [[Chemie]] und [[Physik]] wird diese Figur als Grundmodell für nicht sphärische Teilchen verwendet. Sie erscheint insbesondere als Modell für die Moleküle in [[Flüssigkristall|Flüssigkristallen]]<ref>{{cite journal |last=Onsager |first=Lars |authorlink=Lars Onsager |title=The effects of shape on the interaction of colloidal particles |journal=Annals of the New York Academy of Sciences |issue=4 |volume=51 |pages=627–659 |date=May 1949 |doi=10.1111/j.1749-6632.1949.tb27296.x |s2cid=84562683}}</ref><ref>{{cite journal |last=Frenkel |first=Daan |title=Onsager's spherocylinders revisited |journal=Journal of Physical Chemistry |issue=19 |volume=91 |pages=4912–4916 |date=September 10, 1987 |doi=10.1021/j100303a008 |hdl=1874/8823 |s2cid=96013495}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Dzubiella |first1=Joachim |last2=Schmidt |first2=Matthias |last3=Löwen |first3=Hartmut |title=Topological defects in nematic droplets of hard spherocylinders |journal=[[Physical Review E]] |issue=4 |volume=62 |pages=5081–5091 |year=2000 |arxiv=cond-mat/9906388 |doi=10.1103/PhysRevE.62.5081 |pmid=11089056 |bibcode=2000PhRvE..62.5081D |author3-link=Hartmut Löwen |s2cid=31381033}}</ref> oder für die Teilchen in [[granulare Materie]]<ref>{{cite journal |last1=Pournin |first1=Lionel |last2=Weber |first2=Mats |last3=Tsukahara |first3=Michel |last4=Ferrez |first4=Jean-Albert |last5=Ramaioli |first5=Marco |last6=Liebling |first6=Thomas M. |title=Three-dimensional distinct element simulation of spherocylinder crystallization |journal=Granular Matter |issue=2–3 |volume=7 |pages=119–126 |year=2005 |doi=10.1007/s10035-004-0188-4 |doi-access=free}}</ref><ref>{{cite conference |last1=Pournin |first1=Lionel |last2=Liebling |first2=Thomas M. |book-title=Powders and Grains 2005 Proceedings vol. II |title=A generalization of Distinct Element Method to tridimensional particles with complex shapes |publisher=A.A. Balkema, Rotterdam |year=2005 |pages=1375–1378 |url=https://infoscience.epfl.ch/record/77616}}</ref><ref>{{cite book |last1=Pournin |first1=Lionel |last2=Liebling |first2=Thomas M. |editor-last1=Cook |editor-first1=William |editor-link1=William J. Cook |editor-last2=Lovász |editor-first2=László |editor-last3=Vygen |editor-first3=Jens |title=Research Trends in Combinatorial Optimization |publisher=Springer, Berlin |year=2009 |chapter=From spheres to spheropolyhedra: generalized Distinct Element Methodology and algorithm analysis |pages=347–363 |isbn=978-3-540-76795-4 |doi=10.1007/978-3-540-76796-1_16 |editor-link2=László Lovász |doi-access=free}}</ref>.
==Formulas==
The volume <math>V</math> of a capsule is calculated by adding the volume of a ball of radius <math>r</math> (that accounts for the two hemispheres) to the volume of the cylindrical part. Hence, if the cylinder has height <math>h</math>,


== Formeln ==
:<math>V = \frac{4}{3}\pi r^3 + (\pi r^2h)= \pi r^2 \left (\frac{4}{3}r + h \right )</math>.
Das Volumen 𝑉 einer Kapsel errechnet sich aus der Addition des Volumens einer Kugel mit Radius 𝑟 (das die beiden Halbkugeln ausmacht) zum Volumen des zylindrischen Teils. Daher, wenn der Zylinder Höhe ℎ hat,
The surface area of a capsule of radius <math>r</math> whose cylinder part has height <math>h</math> is <math>2 \pi r (2r + h)</math>.


: <math>V = \frac{4}{3}\pi r^3 + (\pi r^2h)= \pi r^2 \left (\frac{4}{3}r + h \right )</math>.
==Generalization==


Die Oberfläche einer Kapsel mit Radius 𝑟, deren Zylinderteil die Höhe ℎ hat, ist 2𝜋𝑟(2𝑟+ℎ).
A capsule can be equivalently described as the [[Minkowski sum]] of a ball of radius <math>r</math> with a [[line segment]] of length <math>a</math>.<ref name="PWTFRL2005"/> By this description, capsules can be straightforwardly generalized as Minkowski sums of a ball with a [[polyhedron]]. The resulting shape is called a spheropolyhedron.<ref name="PL2005">{{cite conference
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== Verallgemeinerung ==
==Related shapes==
Eine Kapsel kann äquivalent als [[Minkowski-Summe]] einer Kugel mit Radius 𝑟 mit einer [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] der Länge 𝑎 beschrieben werden.<ref>{{cite journal |last1=Pournin |first1=Lionel |last2=Weber |first2=Mats |last3=Tsukahara |first3=Michel |last4=Ferrez |first4=Jean-Albert |last5=Ramaioli |first5=Marco |last6=Liebling |first6=Thomas M. |title=Three-dimensional distinct element simulation of spherocylinder crystallization |journal=Granular Matter |issue=2–3 |volume=7 |pages=119–126 |year=2005 |doi=10.1007/s10035-004-0188-4 |doi-access=free}}</ref> Durch diese Beschreibung können Kapseln direkt als Minkowski-Summen einer Kugel mit einem [[Polyeder]] verallgemeinert werden. Die resultierende Figur wird Sphäropolyeder genannt.<ref>{{cite conference |last1=Pournin |first1=Lionel |last2=Liebling |first2=Thomas M. |book-title=Powders and Grains 2005 Proceedings vol. II |title=A generalization of Distinct Element Method to tridimensional particles with complex shapes |publisher=A.A. Balkema, Rotterdam |year=2005 |pages=1375–1378 |url=https://infoscience.epfl.ch/record/77616}}</ref><ref>{{cite book |last1=Pournin |first1=Lionel |last2=Liebling |first2=Thomas M. |editor-last1=Cook |editor-first1=William |editor-link1=William J. Cook |editor-last2=Lovász |editor-first2=László |editor-last3=Vygen |editor-first3=Jens |title=Research Trends in Combinatorial Optimization |publisher=Springer, Berlin |year=2009 |chapter=From spheres to spheropolyhedra: generalized Distinct Element Methodology and algorithm analysis |pages=347–363 |isbn=978-3-540-76795-4 |doi=10.1007/978-3-540-76796-1_16 |editor-link2=László Lovász |doi-access=free}}</ref>


== Ähnliche Figuren ==
A capsule is the three-dimensional shape obtained by revolving the two-dimensional [[Stadium (geometry)|stadium]] around the [[line of symmetry]] that [[bisection|bisects]] the [[semicircle|semicircles]].
Eine Kapsel ist die dreidimensionale Figur, die erhalten wird, indem das zweidimensionale [[:en:Stadium_(geometry)|Stadion]] um die [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrielinie]] gedreht wird, die die [[Halbkreis|Halbkreise]] halbiert.


== Einzelnachweise ==
==References==
{{reflist}}


[[Kategorie:Elementare Figuren]]
[[Category:Elementary shapes]]


{{elementary-geometry-stub}}

Version vom 17. April 2023, 21:59 Uhr

Links eine zweidimensionale Orthogonalprojektion, rechts eine dreidimensionale, die eine Kapsel darstellt


Eine Kapsel (von lateinisch capsula, „kleine Kiste oder Truhe“) oder ein Stadium der Drehung ist eine dreidimensionale geometrische Grundfigur, die aus einem Zylinder mit halbkugelförmigen Enden besteht.[1] Ein anderer Name für diese Form ist Sphärozylinder.[2][3][4][5]

Es kann auch als Oval bezeichnet werden, obwohl die Seiten (vertikal oder horizontal) gerade parallel sind.

Verwendungen

Die Figur wird für einige Objekte verwendet, wie Druckbehälter, Fenster von Orten wie einem Jet, Softwareknöpfe, Gebäudekuppeln (wie das Innere des US-Kapitols, bei dem die Fenster des Zylinders, die die Apotheose von Washington darstellen, das Aussehen der Figur hat, platziert in einem omnidirektionalen Muster), Spiegel und pharmazeutischen Kapseln.

In Chemie und Physik wird diese Figur als Grundmodell für nicht sphärische Teilchen verwendet. Sie erscheint insbesondere als Modell für die Moleküle in Flüssigkristallen[6][7][8] oder für die Teilchen in granulare Materie[9][10][11].

Formeln

Das Volumen 𝑉 einer Kapsel errechnet sich aus der Addition des Volumens einer Kugel mit Radius 𝑟 (das die beiden Halbkugeln ausmacht) zum Volumen des zylindrischen Teils. Daher, wenn der Zylinder Höhe ℎ hat,

.

Die Oberfläche einer Kapsel mit Radius 𝑟, deren Zylinderteil die Höhe ℎ hat, ist 2𝜋𝑟(2𝑟+ℎ).

Verallgemeinerung

Eine Kapsel kann äquivalent als Minkowski-Summe einer Kugel mit Radius 𝑟 mit einer Strecke der Länge 𝑎 beschrieben werden.[12] Durch diese Beschreibung können Kapseln direkt als Minkowski-Summen einer Kugel mit einem Polyeder verallgemeinert werden. Die resultierende Figur wird Sphäropolyeder genannt.[13][14]

Ähnliche Figuren

Eine Kapsel ist die dreidimensionale Figur, die erhalten wird, indem das zweidimensionale Stadion um die Symmetrielinie gedreht wird, die die Halbkreise halbiert.

Einzelnachweise

  1. ↑ Dipankar Sarkar, N. J. Halas: General vector basis function solution of Maxwell's equations. In: Physical Review E. 56. Jahrgang, 1, part B, 1997, S. 1102–1112, doi:10.1103/PhysRevE.56.1102.
  2. ↑ Taro Kihara: The Second Virial Coefficient of Non-Spherical Molecules. In: Journal of the Physical Society of Japan. 6. Jahrgang, Nr. 5, 1951, S. 289–296, doi:10.1143/JPSJ.6.289.
  3. ↑ Daan Frenkel: Onsager's spherocylinders revisited. In: Journal of Physical Chemistry. 91. Jahrgang, Nr. 19, 10. September 1987, S. 4912–4916, doi:10.1021/j100303a008.
  4. ↑ Joachim Dzubiella, Matthias Schmidt, Hartmut Löwen: Topological defects in nematic droplets of hard spherocylinders. In: Physical Review E. 62. Jahrgang, Nr. 4, 2000, S. 5081–5091, doi:10.1103/PhysRevE.62.5081, PMID 11089056, arxiv:cond-mat/9906388, bibcode:2000PhRvE..62.5081D.
  5. ↑ Lionel Pournin, Mats Weber, Michel Tsukahara, Jean-Albert Ferrez, Marco Ramaioli, Thomas M. Liebling: Three-dimensional distinct element simulation of spherocylinder crystallization. In: Granular Matter. 7. Jahrgang, Nr. 2–3, 2005, S. 119–126, doi:10.1007/s10035-004-0188-4.
  6. ↑ Lars Onsager: The effects of shape on the interaction of colloidal particles. In: Annals of the New York Academy of Sciences. 51. Jahrgang, Nr. 4, Mai 1949, S. 627–659, doi:10.1111/j.1749-6632.1949.tb27296.x.
  7. ↑ Daan Frenkel: Onsager's spherocylinders revisited. In: Journal of Physical Chemistry. 91. Jahrgang, Nr. 19, 10. September 1987, S. 4912–4916, doi:10.1021/j100303a008.
  8. ↑ Joachim Dzubiella, Matthias Schmidt, Hartmut Löwen: Topological defects in nematic droplets of hard spherocylinders. In: Physical Review E. 62. Jahrgang, Nr. 4, 2000, S. 5081–5091, doi:10.1103/PhysRevE.62.5081, PMID 11089056, arxiv:cond-mat/9906388, bibcode:2000PhRvE..62.5081D.
  9. ↑ Lionel Pournin, Mats Weber, Michel Tsukahara, Jean-Albert Ferrez, Marco Ramaioli, Thomas M. Liebling: Three-dimensional distinct element simulation of spherocylinder crystallization. In: Granular Matter. 7. Jahrgang, Nr. 2–3, 2005, S. 119–126, doi:10.1007/s10035-004-0188-4.
  10. ↑ Lionel Pournin, Thomas M. Liebling, Liebling: A generalization of Distinct Element Method to tridimensional particles with complex shapes. In: Powders and Grains 2005 Proceedings vol. II. A.A. Balkema, Rotterdam, 2005, S. 1375–1378 (epfl.ch).
  11. ↑ Lionel Pournin, Thomas M. Liebling: Research Trends in Combinatorial Optimization. Hrsg.: William Cook, László Lovász, Jens Vygen. Springer, Berlin, 2009, ISBN 978-3-540-76795-4, From spheres to spheropolyhedra: generalized Distinct Element Methodology and algorithm analysis, S. 347–363, doi:10.1007/978-3-540-76796-1_16.
  12. ↑ Lionel Pournin, Mats Weber, Michel Tsukahara, Jean-Albert Ferrez, Marco Ramaioli, Thomas M. Liebling: Three-dimensional distinct element simulation of spherocylinder crystallization. In: Granular Matter. 7. Jahrgang, Nr. 2–3, 2005, S. 119–126, doi:10.1007/s10035-004-0188-4.
  13. ↑ Lionel Pournin, Thomas M. Liebling, Liebling: A generalization of Distinct Element Method to tridimensional particles with complex shapes. In: Powders and Grains 2005 Proceedings vol. II. A.A. Balkema, Rotterdam, 2005, S. 1375–1378 (epfl.ch).
  14. ↑ Lionel Pournin, Thomas M. Liebling: Research Trends in Combinatorial Optimization. Hrsg.: William Cook, László Lovász, Jens Vygen. Springer, Berlin, 2009, ISBN 978-3-540-76795-4, From spheres to spheropolyhedra: generalized Distinct Element Methodology and algorithm analysis, S. 347–363, doi:10.1007/978-3-540-76796-1_16.
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