Zylinder (Geometrie)

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Kreiszylinder

Ein endlicher Zylinder (von altgriech. κυλίνδειν kylíndein ‚rollen‘, ‚wälzen‘) ist laut der allgemeinen Definition ein von zwei parallelen, ebenen, kongruenten Flächen (Grund- und Deckfläche) und einer Mantel- bzw. Zylinderfläche begrenzter Körper, wobei die Mantelfläche von parallelen Geraden gebildet wird. Das heißt, der Zylinder entsteht durch Verschiebung einer ebenen Fläche oder Kurve entlang einer Geraden, die nicht in dieser Ebene liegt. Die Höhe des Zylinders ist gegeben durch den Abstand der beiden Ebenen, in denen Grund- und Deckfläche liegen.

Sind die Geraden senkrecht zu Grund- und Deckfläche, spricht man von einem geraden Zylinder. Wenn in der Geometrie von einem Zylinder die Rede ist, handelt es sich häufig um einen (geraden) Kreiszylinder, wie er weiter unten beschrieben wird.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines allgemeinen Zylinders berechnen sich wie folgt:

Volumen: V = G \cdot h

Mantelfläche: M = U \cdot h

Oberfläche: O = M + 2\cdot G

G steht für den Inhalt der Grundfläche, U für den Umfang der Grundfläche bzw. die Länge der Leitkurve; h bezeichnet die Höhe des Zylinders.

Kreiszylinder[Bearbeiten]

Ein Kreiszylinder entsteht durch Verschiebung eines Kreises parallel zu einer Geraden durch den Kreismittelpunkt, der Achse, die nicht in der Ebene des Kreises liegt. Ein Kreiszylinder wird begrenzt von zwei parallelen Kreisflächen (Grundfläche und Deckfläche) und der so genannten Mantelfläche.

Varianten[Bearbeiten]

Zwei Varianten eines Kreiszylinders

Man unterscheidet unter anderem zwischen dem geraden Kreiszylinder oder Drehzylinder, dessen Achse senkrecht zur Kreisebene liegt, und dem schiefen Kreiszylinder, bei dem das nicht der Fall ist. Dessen Querschnitt senkrecht zur Achse hat die Form einer Ellipse.

Ein Drehzylinder mit h = 2r heißt gleichseitiger Zylinder. Diese Bezeichnung erklärt sich wie folgt: Schneidet man einen solchen Zylinder mit einer Ebene, die die Achse enthält, so erhält man ein Quadrat.

Besitzt der Kreiszylinder eine Bohrung entlang seiner Achse, so spricht man von einem Hohlzylinder.

Ein Objekt, dessen Höhe (Dicke) im Verhaltnis zum Durchmesser sehr gering ist, wird Ronde genannt. Verkehrsschilder mit einem Verbot (Zeichen 250 bis 267) sind in Deutschland rondenförmig.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Gerader Kreiszylinder mit abgewickeltem Mantel

Das Volumen eines (geraden oder schiefen) Kreiszylinders berechnet sich aus dem Grundflächenradius r und der Höhe h:

V = \pi r^{2} \cdot h = G \cdot h

Die Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders berechnet sich aus:

M = 2 \pi r \cdot h = U \cdot h

Für die Oberfläche eines geraden Kreiszylinders ergibt sich:

O = M + 2\cdot G = 2 \pi r \cdot h + 2 \pi r^{2} = 2 \pi r (h + r)

Der Summand 2\pi r \cdot h der Mantelfläche in dieser Formel ergibt sich daraus, dass diese zu einem Rechteck mit den Seitenlängen 2 \pi r (Kreisumfang) und h (Höhe) abwickelbar ist.

Hohlzylinder[Bearbeiten]

Für einen Hohlzylinder – etwa ein gerades Rohrstück – sind die bestimmenden Größen neben der Höhe h der Außenradius R bzw. der Innenradius r. Die Wanddicke b ist somit R-r. Die zugehörigen Mantelflächen berechnen sich zu 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h bzw. 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h. Die Deckflächen, welche jeweils einen Kreisring darstellen, berechnen sich nach \pi \cdot (R^2-r^2). Die Gesamtoberfläche ist damit gegeben durch

O = 2 \cdot \pi \cdot[(R+r) \cdot h+R^2-r^2]\,

während das Volumen des Hohlzylinders

V= \pi \cdot R^2 \cdot h -\pi \cdot r^2 \cdot h=\pi \cdot h \cdot(R^2-r^2)

beträgt.

Volumenberechnung eines liegenden Kreiszylinders (Tank-Problem)[Bearbeiten]

Teilweise gefüllter liegender Zylinder (Tank)

Die Berechnung des Inhalts V eines teilweise gefüllten liegenden Kreiszylinders kann anhand der Länge L, des Radius r sowie der Füllhöhe h vorgenommen werden. Nach der oben angegebenen Gleichung Volumen = Grundfläche · Höhe ergibt sich das Volumen der Füllung durch Multiplikation des Flächeninhalts des Kreissegments mit der Länge L des Zylinders:

V = r^2 L \left(\arccos\left(\frac{r - h}{r}\right) - (r - h) \frac{\sqrt{2rh - h^2}}{r^2}\right).

Literatur[Bearbeiten]

  • Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. Springer 2010, ISBN 9783834812933, S. 154-157 (Auszug (Google))

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikisource: Meyers Blitz-Lexikon – Quellen und Volltexte
 Commons: Zylinder (Geometrie) – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien